一类高阶中立型泛函微分方程周期解

秦发金,姚晓洁

(广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系,广西柳州 545004)

一类高阶中立型泛函微分方程周期解

秦发金*,姚晓洁

(广西柳州师范高等专科学校数学与计算机科学系,广西柳州 545004)

利用重合度理论，研究了一类具有偏差变元的高阶中立型泛函微分方程(x(t)+cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)周期解问题，获得了这类方程存在唯一周期解的新结果，推广和改进了已有的相关结果.

高阶中立型泛函微分方程； 周期解； 存在唯一性； 重合度

为了方便研究，本文引进下面记号:

近年来，关于一阶和二阶微分方程周期解的存在性与唯一性的研究取得了很多结果，比如文献[1]-[7] .文献[7]研究了下面一类具有2个偏差变元的二阶微分方程

x″(t)+f(x(t-(t))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

(1)

(x(t)-cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+

g(x(t-γ(t)))=e(t)

(2)

周期解的存在性与唯一性，其中n≥2为整数，,γ,eC(,)是连续的T-周期函数，e(t)dt=0,f,gC1(,)且f(b)+g(b)≠e(t),∀t,b，c,σ是常数且|c|≠1.

显然，当c=0，n=2时，方程(2)退化为方程(1).本文利用新的分析技巧和重合度理论，得到了方程(2)周期解存在唯一性的新充分条件.所得结果并不要求′(t)<1，γ′(t)<1，而且与时滞无关，从而推广和改进了文献[7]的结果.

A:Y→Y,(Ax)(t)=x(t)-cx(t-σ),

L:DomL⊂X→Y,Lx=(Ax)(n)，

(3)

定义N:X→Y为

Nx(t)=-f(x(t-(t)))-g(x(t-γ(t)))+e(t).

(4)

引理1[8]如果|c|≠1，则A存在唯一有界连续逆，且满足

定义投影算子P,Q分别为

P:X→KerL,Px=Ax(0),

显然，P和Q为连续算子，ImP=KerL=R,KerQ=ImL=Im(I-Q).定义

LP=L|Dom L∩Ker P:CT∩KerP→ImL,

(5)

这里(Ax)(i)(0) (i=1,2,…,n-1)由方程DZ=B决定，其中

Z=((Ax)(n-1)(0),(Ax)(n-2)(0),…,(Ax)′(0))T,

B=(b1,b2,…,bn-1)T,

(i)Lx≠Nx,∀x∂Ω∩DomL,∀(0,1);

(iii)deg{QN,Ω∩KerL,0}≠0,

(i=1,2,…,m-1),

其中,当m为偶数时

当m为奇数时

其中诸Bm-2s,B2m-4s,Bm-2s-1,B2m-4s-2是伯努数，可由如下递推公式求得

引理5 假设下列条件成立：

证明设x(t)是方程(2)的一个T-周期解，将方程(2)两边从0到T积分得

f(x(ξ-(ξ)))+g(x(ξ-γ(ξ)))=0.

(6)

(7)

若式(7)不成立，则有

(8)

由式(8)可知下列之一必成立：

x(ξ-(ξ))>x(ξ-γ(ξ))>d.

(9)

x(ξ-γ(ξ))>x(ξ-(ξ))>d.

(10)

x(ξ-(ξ))

(11)

x(ξ-γ(ξ))

(12)

如果式(9)成立，则

0

f(x(ξ-(ξ)))+g(x(ξ-γ(ξ))).

这与式(6)相矛盾，意味着式(7)成立.

如果式(10)或式(11)或式(12)成立，则类似证明式(7)成立.

(13)

1 周期解的存在性

定理1 假设条件(H1)、(H2)成立，并且满足：

证明考虑方程Lx=Nx,(0,1)，即

(x(t)-cx(t-σ))(n)+f(x(t-(t)))+

(14)

假设x(t)是式(14)对于某个(0,1)的T-周期解，令

下面分2种情形讨论：

(15)

(16)

由式(16)和引理3得

为了验证引理2的条件(iii)，作变换

xH(x,μ)=μx2+(1-μ)x[f(x)+g(x)]>0.

故H(x,μ)为同伦变换，于是deg{QN,Ω∩KerL,0}=deg{x,Ω∩KerL,0}≠0.从而由引理2知，方程(2)至少存在一个T-周期解.

余下类似情形1的证明，这里省略.

类似定理1的证明，有：

定理2 如果假设(H3)成立，且满足下列条件：

2 周期解的唯一性

定理3 假设下列条件成立：

或者

(xi(t)-cxi(t-σ))(n)+f(xi(t-(t)))+

g(xi(t-γ(t)))=e(t) (i=1,2).

(17)

令z(t)=x1(t)-x2(t)，则由式(17)可得

(z(t)-cz(t-σ))(n)+f(x1(t-(t)))-

f(x2(t-(t)))+g(x1(t-γ(t)))-

g(x2(t-γ(t)))=0.

(18)

注意到

f(x1(t-(t)))-f(x2(t-(t)))=

z(t-(t))f′(x2(t-(t))+sx1(t-(t)))ds,

g(x1(t-γ(t)))-g(x2(t-γ(t)))=

令

则式(18)变为

(z(t)-cz(t-σ))(n)+F(t)z(t-(t))+

G(t)z(t-γ(t))=0.

(19)

F(η)z(η-(η))+G(η)z(η-γ(η))=0.

(20)

下面分2种情形讨论：

结合引理4和式(20)得

(21)

(22)

结合引理3和式(20)得

余下与情形1的证明相同.

εx+f(0)≤f(x)≤k1x+f(0),

εx+g(0)≤g(x)≤k2x+g(0),∀x>0,

(23)

及

k1x+f(0)≤f(x)≤εx+f(0),

k2x+g(0)≤g(x)≤εx+g(0),∀x<0.

(24)

由式(23)和式(24)知

(25)

类似证明，有：

x(n)(t)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

存在唯一一个T-周期解.

x(n)(t)+f(x(t-(t)))+g(x(t-γ(t)))=e(t)

存在唯一一个T-周期解.

或者

代替，本文的结果仍然成立.

注3 与文献[7]的结果相比，推论3和推论4的结果不仅不要求′(t)<1，γ′(t)<1，而且还与时滞无关，因此本文的结果推广和改进了文献[7]的结果.

3 应用举例

例1 考虑下面微分方程

g(x(t-3sint))=sint,

(26)

例2 考虑下面微分方程

x″(t)+f(x(t-3cost))+g(x(t-3sint))=cost,

(27)

[1] 陈红斌,王立河,秦军林. 关于Duffing方程周期解的存在性与唯一性[J].数学年刊,2006, 27A(6):723-730.

[2] 陈红斌,李开泰. 关于Liénard方程周期解的存在性与唯一性[J].数学年刊,2001,22A(2): 237-242.

[3] 刘炳文.一类具偏差变元的Liénard型方程周期解的存在与惟一性[J].系统科学与数学，2009,29(3)：360-366.

[4] LIU B W,HUANG L H. Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of second order neutral functional differential equations[J].Nonlinear Analysis: Real World Application,2007,8:222-229.

[5] PENG L Q. Existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Duffing equation with two deviating arguments[J].Mathematical and Computer Modelling, 2007,45:378-386.

[6] LIU B W, HUANG L H. Existence and uniqueness of periodic solutions for a class of first order neural functional differential equation[J]. Acta Mathematica sinica,2006,49(6):1347-1354.

[7] WANG Z G,QIAN L X,LU S P, et al. The existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Duffing-type equation with two deviating arguments[J].Nonlinear Analysis：Theory, Methods & Applications,2010,73: 3034-3043.

[8] LU S P,GE W G. Existence of periodic solutions for a kind of second order neutral functional differential equation[J].Appl Math Comput,2004,157: 433-448.

[9] HALE J K. Theory of functional differential equations[M]. New York: Springer,1997.

[10] GAINES R,MAWHIN J. Coincide degree and nonlinear differential[M].Berlin:Springer-Verlag,1997.

[11] LI X J,LU S P. Periodic solutions for a kind of high-orderp- Laplacian differential equation with sign-changing coefficient ahead of the non-linear term[J].Nonlinear Analysis,2009,70: 1011-1022.

[12] GUO D J. Theory of functional analysis[M].Jinan: Shandong Technology and Science Publishing House,2001.

Keywords： higher-order neutral functional differential equation；periodic solution；existence and uniqueness；coincidence degree

PeriodicSolutionforaHigher-OrderNeuralFunctionalDifferentialEquation

QIN Fajin*, YAO Xiaojie

(Department of Mathematics and Computer Science, Liuzhou Teachers College, Liuzhou, Guangxi 545004, China)

A higher order nonlinear neutral functional differential equation is investigated. By using the coincidence degree theory, some new sufficient conditions for the existence and uniqueness of periodic solution of the given equation are obtained. The results have extended and improved the related conclusions in the literatures.

2011-03-24

国家自然科学基金项目(11161029)

*通讯作者，qinfajin@163.com

1000-5463(2012)01-0033-06

O175.6

A

【责任编辑 庄晓琼】