关于k-折对称点的近于凸函数和拟凸函数子类的邻域

刘名生，黄蕥媛

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

关于k-折对称点的近于凸函数和拟凸函数子类的邻域

刘名生*，黄蕥媛

(华南师范大学数学科学学院,广东广州 510631)

单叶函数; 近于凸函数; 拟凸函数; Hadamard 乘积;k-折对称点;δ-邻域

假定k,n≥1 是2个取定的正整数，-1≤B

和

其中fg表示函数f从属于g，fk(z)由下式定义:

(ε= exp (2i/k),εk=1),

这里

(1)

根据引理 1, 可得

注意到g(0)=G(0)=0,和

所以

对z=r证明我们的估计是充分的,否则可以考虑fk的一个旋转. 此时有

(2)

如果B≠0,在式(2)两边积分, 可得

引理4 假定 -1≤B

(3)

(4)

根据ψθ的定义和Hadamard乘积的性质可得

(5)

(6)

其中ψθ(z)由式(3)定义.

(7)

δk,n(1-|z|)>0.

(8)

直接计算可得

注2 在定理 1和推论1中令k=1 和n=1, 可得文献[2]的相应结果.

对于B≤0，δk,n的值是最好的可能.

根据定理 1 的证明, 有

于是可得

现在根据ψθ的定义或者式(5),应用最小值原理可得

根据引理 3, 可得

(9)

取定 0

根据引理 4知,f*ψθ是单叶的，所以从0到(f*ψθ)(z0)的线段的原像L是 |z|≤r内的一条弧. 从而可得，对于 |z|≤r，有

|(f*ψθ)(z)|≥|(f*ψθ)(z0)|=

由式(9)可得

令

和

(0

显然有v′(r)<0 (00 或者B<0时，有

(10)

这样式(11)的右边确定δk,n.

为了证明δk,n是最好的可能, 可考虑

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Keywords： univalent function; close-to-convex function; quasi-convex function; Hadamard product;k-symmetric points;δ-neighborhood

OntheNeighborhoodsofCertainSubclassesofClose-to-ConvexandQuasi-ConvexFunctionswithRespecttok-SymmetricPoints

LIU Mingsheng*, HUANG Yayuan

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2011-02-21

教育部高等学校博士学科点专项科研基金项目(20050574002)

*通讯作者，liumsh@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0014-05

O174.51

A

【责任编辑 庄晓琼】