基于混合蛙跳算法的电力系统经济负荷分配*

张友华，王联国

（1．甘肃农业大学 工学院，甘肃 兰州 730070;2．甘肃农业大学信息科学技术学院，甘肃 兰州 730070）

0 引言

经济负荷分配（economic load dispatch，ELD）是一类电力系统规划和运行调度中的典型优化问题，其目标是在满足负荷和运行约束条件的前提下，使发电成本最小化，对于电力系统运行的可靠性与经济性具有重要作用。由于火电机组阀点效应［1］（valve point effect）、系统运行约束、系统稳定性等条件的制约，使ELD问题具有非凸、高维数、非线性和不可导等特性。

已提出了许多用于求解 ELD问题的方法，文献［2］提出了一种线性规划法，但在模型线性化时易引入误差。文献［3］提出拉格朗日乘数法，但其模型要求连续可导，这限制了该方法的广泛应用。文献［4］中动态规划方法的维数灾问题也限制了它的应用。经典数学分配方法由于无法满足高维性和精度的要求，难以处理这类复杂的优化问题。

近年来，各种群体智能优化算法迅速发展，与传统数学优化方法不同，它可以处理高维、非线性、非凸、不可导的问题，如改进的遗传算法（GA）、改进的粒子群（particle swarm optimization，PSO）算法［6］、广义蚁群算法［6］和混沌优化方法［7］等由于不依赖于求解对象的数学特性并且具有全局收敛性，已广泛应用于ELD问题的求解中。

混合蛙跳算法（SFLA）作为智能算法的一种优化算法，它是2000年由Eusuff M M和Lansey K E通过类比青蛙的觅食行为与优化问题求解的相似性而提出了一种新的基于全局协同搜索的智能优化方法［8］。由于它具有概念简单、参数少、易于编程、求解快速、易于理解等诸多优点已被应用于电力系统动态优化潮流、TSP问题、函数优化等领域。本文将SFLA应用到求解ELD问题中，给出了具体实现方法，对算法进行了实验分析，并与多种其他智能算法优化结果进行了比较，仿真实验证明本文提出的算法性能是有效的，可行的。

1 电力系统ELD问题的数学模型

1．1 目标函数

ELD问题就是合理地安排各发电厂（机）的有功出力，使得在满足电力平衡和其它约束条件下，系统总发电耗量达到最小，即最小化发电成本，其目标函数为

式中f为系统总发电费用;Ng为系统内发电机总数;Pi为第i台发电机的有功率;Fi（PGi）为第i台发电机的耗量特性。

单台发电机耗量特性可通过在机组热运行测试段对PG，F采样得到，FI（Pi）通常可表示成二次函数形式

式中ai，bi，ci为参数。

在汽轮机进气阀突然开启时出现的拔丝现象会在机组的耗量曲线上叠加一个脉动效果，即产生阀点效应。忽略它会使求解精度受到明显影响。考虑阀点效应的耗量特性为

1．2 约束条件

电力系统稳定运行时要满足电力平衡约束和发电机运行约束条件。电力平衡约束是指发电机有功功率之和等于系统总网损和系统总负荷之和，即功率平衡。

网损是发电机有功功率、传输线参数和网络拓扑结构的函数，一般采用潮流计算或B系数法求得。

1）电力平衡约束条件为

式中PD为系统的总负荷;PL为系统的总网损。

当电力系统网络覆盖密集时可以忽略网损［9］，因此，电力平衡约束简化为

2）发电机运行约束条件为

3）采用潮流法计算网络损耗时，要考虑以下约束条件:

线路容量约束

式中Lfj为第j条线路潮流，为第j线路潮流上限，NL为线路总数。

系统稳定性约束

式中i，j为线路连接的节点;σi，σj分别为节点i，j的相角;σij，max为节点i，j之间的相角差上限;ND为系统节点数。

2 SFLA的基本原理与步骤

2．1 SFLA 原理

SFLA是一种受自然生物模仿启示而产生的基于群体的协同搜索方法，该算法模拟青蛙群体在寻觅食物时，分成不同的族群（子群）进行思想交流。每个族群有自己的思想，执行局部搜索策略。在局部搜索迭代次数结束之后，各个族群之间进行思想交流，实现族群间的混合（洗牌）运算。局部搜索和混合过程一直持续到定义的收敛条件结束为止。SFL算法结合了基于基因演算算法（memetic algorithm，MA）和基于社会行为的粒子群优化（PSO）算法二者的优点［10］。全局信息交换和局部深度搜索的平衡策略使得算法能够跳出局部极值点，向着全局最优的方向进行。

对于D维优化问题，SFLA首先从已知可行域中随机生P只青蛙组成初始群体，第i只青蛙表示问题的解为Xi=（xi1，xi2，…，xiD），计算每只青蛙的目标函数值f（Xi），将每只青蛙根据其目标函数值按递减（増）顺序排列，然后将整个青蛙群体划分为m个族群，每个族群中包含n只青蛙。

对于每一个族群，目标函数值最好的解记为Xb和目标函数值最差的解记为Xw，而群体中目标函数值最好的解记为Xg。在每次迭代中，只对族群中的Xw进行更新操作，其更新策略为

其中，j=1，2，…，D;－Dmax≤Dj≤Dmax，Dj表示分量j上移动的距离，Dmax为青蛙的最大移动步长。

经过更新后，如果得到的解newXw优于原来的解oldXw，则取代原来族群中的解。否则，则用Xg取代Xb重复执行更新策略

如果仍然没有改进，则随机产生一个新的解取代原来的Xw，重复这种更新操作，直到设定的迭代次数。当所有族群的局部深度搜索完成后，将所有族群的青蛙重新混合、排序和划分族群，然后再进行局部深度搜索，如此反复直到达到事先设定的混合次数。

2．2 算法实现步骤

1）为参数赋初值:设定青蛙群体P，族群数m，每个族群包含青蛙的数量n，局部最大迭代次数Gn和全局最大迭代次数Gm。

2）初始化种群:在可行解空间中，随机初始化种群。

3）将所有青蛙排序:采用式（1）对每只青蛙进行适应度函数值计算，并按适应度大小对P只青蛙进行降序排列，将电力平衡约束、线路容量约束以及系统稳定性约束作为罚函数，与式（1）共同组成目标函数。由文献［11］外罚函数方法满足。

4）将青蛙分组:将青蛙群体分成m个族群，每个族群包含n只青蛙，确定各个族群中的最优解Xb、最差解Xw以及全局最优解Xg。

5）局部深度搜索:采用式（10）、式（11）更新策略更新。

6）全局信息交换，即重新洗牌:局部深度搜索完成后，重新按适应度函数值对P只青蛙群体进行降序排列，全局迭代次数增1，返回第（4）步。重复执行以上过程，判断终止条件，若满足，则终止寻优。

3 仿真实验分析

为了验证本文算法在求解高维、非凸、多约束性问题的有效性，用SFLA算法分别求解3机、13机、40机组的ELD问题，并将本文算法结果与文献中结果进行比较。其中仿真例子均考虑耗量曲线的阀点效应，忽略网损。SFLA算法优化参数如下:青蛙个体总数P=200，族群数M=20，族群内更新次数Gn=10，全局迭代次数Gm=1000。

3．1 算法评价指标

为评价SFLA的性能，考察下列指标:

平均费用（$）

最多费用（$）

最少费用（$）

平均时间（s）

性能百分比（%）

式中L为实验独立运行次数;Fi（i=1，2，…，L）为算法第i次独立搜索最优解;ti（i=1，2，…，L）为算法第i次独立搜索到最优解的时间;F'mean为文献中其他算法的Fmean;FSFLAmean为SFLA的Fmean;α为本文算法性能优于其他算法性能的百分比。

3．2 算例与算法比较

算例1为3机6母线电力系统，系统总负荷PD=850 MW;算例2为13机10母线电力系统，系统总负荷PD=1800 MW;算例3为40机电力系统，系统总负荷PD=10500 MW。考虑耗量曲线的阀点效应，忽略网损，完整原始参数均见文献［13］。实验独立运行100次，即L=100，同时将本文SFLA最优分配结果与其他智能算法分配结果进行了比较，即IEEP算法、混合粒子群（PSO-SQP）算法、改进的粒子群（MPSO）算法。表1～表3分别给出算例1，2，3仿真结果。

表1 3发电机组计算结果比较Tab 1 Comparison of computation results of 3-unit case

表2 13发电机组计算结果比较Tab 2 Comparison of computation results of 13-unit case

表3 40发电机组计算结果比较Tab 3 Comparison of computation results of 40-unit case

由表1，表2，表3可知，对于3维、13维、40维ELD问题，文献中最优解分别为 8 234．07，17 969．93，122094．67$ ，而SFL 算法最优解分别为 8168．61，17499．22，118024．77$ ，明显优于文献中的结果。SFLA的优化结果平均费用Fmean均优于其他3种算法，在满足约束条件下，获得了更好的经济效益。在寻优时间上，SFLA比IEEP算法、PSO-SQP算法有明显的优势，显示了很好的收敛性能。对于3维、13维、40维ELD问题，α的值是不断增大的。表明随着问题规模的变大，混合蛙跳算法寻找最优解的能力逐渐增强。

4 结论

本文将混合蛙跳算法应用于电力系统中考虑机组阀点效应的ELD问题。针对此类多维、多约束、非凸、非线性的优化问题，采用罚函数的方法将有约束的非线性优化问题转化为无约束的非线性优化问题。在IEEE 3维、13维、40维电力系统中进行了仿真计算，通过与IEEP算法、PSOSQP算法、MPSO算法进行比较，结果表明该方法是有效的、可行的。

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