页岩力学参数各向异性研究

王倩 王鹏 项德贵 冯宇思

中国石油集团钻井工程技术研究院

页岩气储层中的有机页岩在形成过程中具有层理、片理等特征，组成的矿物结晶颗粒具有不同大小以及不同的组合方式，造成页岩中具有不同层次的结构构造和这些结构构造的定向排列，所以有机页岩具有明显的强度和弹性各向异性。如果将页岩储层岩石当做各向同性体来处理，是显然不符合实际情况的。对于存在明显层理的页岩，在研究其力学性质时要考虑其各向异性［1－4］。层理性页岩力学性质受岩石本体和结构面的力学性质共同控制，通过理论和实验研究获得页岩岩石强度、弹性力学参数的各向异性特征，结合声波各向异性分析结果，进而完成有机页岩力学性质评价，能实现页岩气水平井的安全钻井和优化水力压裂过程。

1 层理页岩弹性参数变化规律的理论模型

层理页岩的各向异性变动如图1所示，垂直构造面的压缩性显著大于平行构造面的压缩性，所以，这种岩石在层理面的应力—应变性状是各向同性的。

图1 层理页岩的各向异性变形图

描述这种性状的岩石可以用5个独立的弹性常数。分别用E1和E2表示平行和垂直各向同性面的弹性模量，用ν1和ν2表示平行和垂直各向同性面的泊松比，用G2表示各向同性面内的剪切模量。假定在局部坐标系（x′，y′，z′）中，z′轴和可压缩性最大面的法线方向一致，而x′和y′轴落在各向同性面内。横观各向同性岩石的应力—应变关系为：

式中

在实际工程中，由于地层存在一定的走向和倾角，通常和上述坐标系不一致，如图2所示。需要选用总体坐标系（x，y，z）。总体坐标系（x，y，z）和各向异性定向坐标系（x′，y′，z′）的关系可通过走向角（α）和倾向角（β）建立。

图2 总体坐标系与局部坐标系的关系图

借助转换矩阵T和T＊，把总体坐标系中的应力｛σ｝和应变｛ε｝分别换算为局部坐标系中的应力｛σ′｝和应变｛ε′｝。

矩阵T的表达式为：

式中

矩阵T＊和T有如下关系：

将式（2）和式（3）代入式（1），得：

上式两边同乘T＊－1，利用式（5）的关系，得出：

根据单轴压缩边界条件，若沿z轴方向压缩，即应力σx＝σy＝τxy＝τyz＝τzx＝0，α＝0，而β≠0，由式（7）得到：

由于在β＝45°情况下，ν2E1＝ν1E2，可得与z轴为任意角度β方向的弹性模量Eβ和泊松比νβ：

通过实验测定层理页岩垂直层理和平行层理方向的5个弹性常数，便可由式（11）和（12）从理论上得出层理页岩弹性模量E和泊松比v随层理倾角β的变化关系。

2 层理页岩弹性常数各向异性的实验研究

为探讨层理页岩的各向异性，按一定的β方向取样（β角为层理面与岩样端面间的夹角）。β角从0°～90°，每隔15°取1个样，共计7个样（图3）。岩样上下端面的不平行度小于0．2mm。对每块岩样做单轴压缩实验，测定岩石抗压强度、弹性模量、泊松比，并且在实验中测量每块岩样的弹性波速度Vp、Vs［5－7］。

图3 岩心取样示意图

由声波实验结果根据式（13）、（14）计算各岩样的动态弹性模量和动态泊松比，计算结果列于表1。

表1 岩石弹性模量的实测值Es和计算值Eβ表

式中Ed为岩石动态弹性模量，MPa；νd为岩石动态泊松比；Vp为纵波速度，m／s；Vs为横波速度，m／s；ρ为岩石密度，g／cm3。

根据单轴压缩实验所得的岩样应力—应变曲线，可求得岩石的静态弹性模量Es和静态泊松比νs，其值列于表2。

由表2测定的各个角度岩样的单轴抗压强度可以看出，β为60°时岩石的抗压强度最小，即此时岩样沿层理方向破坏。根据层理倾角为βmin＝45°＋φs／2时发生层理破坏，可以得到层理面的内摩擦角φs为30°。还可以看出，如果β小于内摩擦角，岩样不会发生沿层理剪切破坏。

表2 岩石力学参数实验和声波实验数据表

图4为根据表2的实验结果得出的动态弹性模量、泊松比和静态弹性模量、泊松比随层理倾角的变化图。

由图4可见Ed、Es、νd、νs都随层理倾角（β）的增加呈上升趋势，静态参数比动态参数随层理倾角的变化要陡一些，动态参数总比静态参数高，动态弹性模量为静弹性模量的1．35～1．50倍，动态泊松比为静态泊松比的1．00～1．15倍。

对横观各向同性体来说，5个独立的弹性常数（E1、E2、ν1、ν2、G2）确定之后，由式（11）可以计算出任一β角方向上的弹性模量值，表2为弹性模量实测值和计算值的结果数据。

从表2可以看出，计算的弹性模量与实测值接近，最大误差为3%。因此，只要对岩石作平行和垂直层理以及45°方向的3组样品单轴压缩实验，就可用计算值来代替样品的实测值，而不需要对每一个方向（β角）的样品进行单轴压缩实验来确定模量，可省去大量样品加工及实验工作。结果表明将层理岩石视为横观各向同性介质来计算弹性模量是可行的。

图4 岩样动、静态弹性参数实验结果图

由表1的数据通过式（12）计算泊松比随角β的变化规律，泊松比的实测值和计算值结果数据见表3。

表3 岩石泊松比的实测值vs和计算值vβ表

从表3可以看出，泊松比的实测值与计算值也比较接近，误差在合理的范围内，所以将层理岩石视为横观各向同性介质来计算泊松比是可行的。

定义页岩的各向异性指数e为：

式中A1为平行于各向同性面上的弹性模量或泊松比；A2为垂直于各向同性面上的弹性模量或泊松比。

利用实验数据，可以得到岩石动态弹性模量和泊松比的各向异性程度分别为0．088和0．089，岩石静态弹性模量和泊松比的各向异性程度分别为0．180和0．155。可以看出岩石各向异性在静态时更为突出，而动态时岩石各向异性有所减弱。岩石各向异性指数可评价岩石的各向异性程度，各向异性指数越大，表明岩石的各向异性程度越高。

3 结论

通过理论分析和实验研究页岩力学性质的各向异性，主要得出以下结论：

1）层理页岩平行于层理面的弹性模量和泊松比大于垂直于层理面的弹性模量和泊松比。

2）层理页岩的弹性常数Ed、Es、vd、vs都随层理与水平方向夹角的减小呈上升趋势，动态弹性参数总比静态弹性参数高，岩石各向异性在静态时更明显。

3）根据不同层理倾角页岩岩样的单轴抗压强度结果可以看出，层理倾角为60°时岩样的抗压强度最小，岩样沿层理方向破坏，若岩样层理倾角小于层理面内摩擦角，岩样不会发生沿层理剪切破坏。

4）不同层理倾角页岩岩样的弹性模量、泊松比实验结果和将层理页岩作为横观各向同性介质理论计算得出的弹性模量、泊松比基本一致，说明将层理页岩视为横观各向同性介质是合理的。

5）根据岩石的各向异性指数可评价页岩的各向异性程度，各向异性指数越大，表明岩石的各向异性程度越高。

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