灰色模型在非等步长变形监测数据处理中的应用＊

栗衍香，韩晓冬，李 雷

（1．滨州市规划局，山东 滨州256600；2．山东科技大学测绘科学与工程学院，山东 青岛266590）

0 引 言

随着工程技术的发展和城市建设用地的日益稀缺，城市建设中高层建筑物不断兴起。施工期间，建筑物随时间推移、荷载增加，必定引起垂直方向的位移沉降，为确保各项施工安全，必须做好高层建筑物的变形监测工作。尽管变形体的行为是动态变化的，但可以利用专业仪器和方法对变形过程进行持续周期性的观测，获取变形体的各静态时刻数据，通过数据分析，达到对监测对象的形变发展态势进行精准预测的目的。

目前可应用于变形监测数据处理的方法比较多，主要有基于大样本数据回归分析的统计方法、频谱分析方法、Kalman滤波法及灰色模型预测等几何或物理的方法。其中，通过将灰色模型理论应用于变形监测，通过极少量的不断更新的原始数据列进行建模分析，实现建筑物变形短期有效预测，可以较好处理建筑物变形的多因素不确定性与数据贫信息之间的矛盾。但传统灰色模型的建立是以等时间间隔（等步长）原始数据为基础的，而实际监测过程中，因受天气变化、施工进展等诸多因素影响，并不能保证原始数据的严格等步长性，限制了灰色模型的适用范围，通过将时间加权量引入到传统灰色模型中，打破数列累加处理时对等步长的限制，同时也简化因前期数据等距插值预处理所产生的计算流程，取得良好的预测效果。

1 灰色模型

灰色模型预测，即用观测到的、能反映预测对象特征的原始序列来构造动态模型，通过对有限序列的关联分析，寻求内部诸多因素间的关系，预测将来某时刻的特征量或达到某一特征量所需时间的方法［1］。目前灰色系统模型被广泛应用于农业产量预测、年降水量变化趋势预测等方面，着重分析灰色模型应用于变形监测数据分析及沉降预报。

GM（m，n）灰色模型是以灰色模型概念为基础，以微分拟合法为核心的建模方法。模型参数中:m为模型微分方程的阶数，n为参与建模的序列个数；为方便计算通常采用GM（1，1）作为预测模型，以等时间序列作为模型参数，建立一元一阶灰色模型。

1．1 等步长GM（1，1）模型

采用等时间沉降观测值作为原始序列

通过各原始序列观测值逐项累加，对（1）式进行一次AGO生成，得到灰量累积过程中的变化趋势，显化离散数列的积分特性，使灰色过程逐渐由灰变白，从而得到生成数列:

由式（2）建立一元一阶线性微分方程，即灰色模型的白化方程［2］:

式中:a为控制系统预测模型适用范围的发展系数；u为反应资料变化关系的灰色作用量。由最小二乘法求取a和u的常值估计量

B和y按照下式求取

按照最小二乘求出＾U＝［a u］T后，初值x（1）（1）＝x（0）（1），将a，u带入式（3）解微分方程，得到累加生成列的时间响应方程:

最后，通过按照建立时间响应方程，先求取累加生成序列的预测值后，再进行累减得到原始序列的预测值

1．2 基于时间权重的非等步长GM（1，1）模型

在沉降数据预测的实际应用中，考虑到数据采集的非严格等步长性，为扩大灰色GM（1，1）模型的应用范围，可以通过采用等步长数据内插预处理或时间差加权的方法，对1－AGO累加之前的原始序列进行预处理，建立改进的GM（1，1）模型，对沉降数据进行分析预测［3］。

以相邻观测时间段为权，进行时间差加权1－AGO处理得到累加列生成列为

利用时间权重非等步长GM（1，1）模型得到累加生成列拟合值的时间响应方程为

将加权累加生成列的预测值序列，累减还原为原始数列的预测值:

由以上两式，可得基于时间权重的非等步长GM（1，1）模型预测方程:

2 预测模型评价

要对建立的GM（1，1）模型做出合理评价，必须采取残差大小检验、关联度检验或后验方差检验等方法对模型的可靠度和精度进行检验［4］。采用残差统计特征进行后验方差检验，以各结点的预测值或拟合值残差为基础，求取检验后方差比c和小误差概率值p，进而评定预测模型的精度，所涉及的计算公式如下:

模型残差值

残差序列的方差值

原始序列方差值

后验方差比值c＝S1／S2

小误差概率p＝p｛｜e（tk）－¯e｜＜0．6745S1｝

后验方差比值c越小，模型越好，小误差概率值p越大，则精度越高，如表1所示。

表1 GM（1，1）模型精度等级评定表［5］

普遍情况下，一级预测模型精度良好、结果可靠，如果按照原始数列建立的GM（1，1）模型精度不理想，可以采用残差修正的GM（1，1）模型对预测结果进行改良修正，以提高模型的预测精度。

3 非等步长GM（1，1）模型实例分析

3．1 工程概况

以滨州市某楼体沉降观测为例，运用基于时间观测权重的非等步长GM（1，1）模型采集的观测数据进行建模分析。该监测对象为主体8层、裙楼2层，平板式筏形基础、框架结构，共布设19个沉降监测点，自1月24日至12月9日采用Dini 03电子水准仪进行了13次沉降观测，以其中C4点为例，对施工期间的8次进行沉降分析，其中以1～6期数据为原始序列进行非等步长GM（1，1）模型建模拟合，并进行残差精度检验，以7～8期数据作为模型预测检验。

3．2 非等步长灰色模型预测

前6期数据的非等步长GM（1，1）模型建立步骤如下:

步长dett＝｛1 6 11 13 19 19｝，对原始序列进行时间加权后累加的生成序列为

由预测模型可计算出各结点时刻对应的沉降预测量，统计如表2所示。

表2 非等步长GM（1，1）模型预测值与实际沉降量统计表

对非等步长灰色模型采用后验方差评定其精度，残差序列标准差σq＝S1＝1．083 7，原始序列标准差σq＝S2＝4．304 1，求得后验方差比值为:c＝S1／S2＝0．251 8；由p＝p｛｜e（tk）－¯e｜＜0．674 5 S1｝，求得小误差概率p＝1，表2为其残差及相对误差统计表，图1为预测模型曲线与观测曲线对比图。

采用非等步长时间序列求解建模参数，建立的非等步长灰色GM（1，1）模型，对施工期沉降量进行了科学预测，后验方差值c＝0．251 8＜0．35，小误差概率p＝1＞0．95，达到一级预测精度标准，结合图1和表2可以判断预测成果良好，可以采用类似方法进行中短期的沉降数据预测分析。

图1 非等步长GM（1，1）模型预测曲线与观测曲线对比

4 建模结果分析及结论

针对建筑物变形监测工作的时效性、复杂性和不确定性，必须对已有沉降观测资料及时分析做出科学预报，非等步长GM（1，1）灰色模型为此提供了便捷实用的方法，通过分析总结，可得出以下几点结论:

1）灰色系统模型可以建立在少量已知信息的基础上，适用于解决贫信息问题，克服了回归模型中因数据量过少所造成的预测失真、计算量繁杂等问题。如利用施工期间的6组非等步长数据，成功预测了第7、8期数据，采用非等时间间隔作为权重，叠加到累加生成列中，不但提高了模型预测的精度，扩大了灰色预测模型的应用范围，而且相对于采用原始数据等步长内插后再应用灰色模型的方法，简化了计算步骤，减轻了工作量，具有较好的可靠性和可行性。

2）建筑物沉降受内外多方面因素影响，相互关系也是灰色的，灰色模型的建立过程即是将各种关系由“灰”变“白”的过程，但在建筑物沉降预测建模之中，尽管灰色模型可以用贫数据进行建模预测，但为保证预测精度，必须一方面保证贫数据的原始精度，从测量工作中减小样本误差，另一方面及时补充实测的新数据建立新的动态GM（1，1）预测模型，否则难以达到中期预测的精度要求。

3）灰色模型适用于光滑性较好的情况，为提高灰色模型的预测精度，可通过改进或优化建模的方法来实现。比如使用残差修正的GM（1，1）模型，对原始数据与GM（1，1）模型预测值的残差做一次修正；或采用灰色与线性组合模型，既增强了弱化数据的随机性，又能提高预测精度。

［1］ 邓聚龙．灰色预测与决策［M］．武汉:华中科技大学出版社，2002．

［2］ 秦 勤，程华龙，程友明．高速公路路基沉降预测研究［J］．工程与建设，2007，21（2）:201－204．

［3］ 王作雷，蔡国梁．非等间距序列建模过程中存在的问题及改进［J］．大学数学，2003，19（2）:46－50．

［4］ 陈伟清．灰色预测在建筑物沉降变形分析中的应用［J］．测绘科学，2005，30（5）:43－45．

［5］ 张健雄，蒋金豹，张建霞．高层建筑沉降监测与灰色预测［J］．测绘科学，2007，32（4）:56－59．