非规则几何结构平面阵列的DOA估计性能

张利强,全厚德,崔佩璋

(军械工程学院信息工程系,石家庄050003)

1 引 言

随着现代战场环境的日益复杂化,空间目标日益增多,对目标源进行精确定位就需要提供精确的二维信息。确定目标的DOA(来波方向),在对敌方军事目标实施全面的侦察、测向定位和监视中就显得尤为重要,是获取战场制电磁权与实施精确打击的首要前提。

近年来,以基于接收信号的协方差矩阵特征分解理论的子空间类方法MUSIC算法为代表的空间谱估计技术在雷达、通信、电子对抗等领域得到了广泛的应用[1]。在空间谱估计中,采用经典阵列结构形式的阵列得到了深入的研究。但是对于采用固定阵列结构的阵列形式而言,其对布设阵列所需的空间有严格的要求。现实应用中,由于受实际环境的限制,天线阵列的阵元数量及其阵列结构都会受到一定的影响,阵列结构不一定满足线阵等经典阵列形式,阵列结构往往是非规则的任意阵型,这就会给精确测向带来困难,因此,研究非规则型天线阵列的超分辨测向具有重要的实际意义。

对非规则阵列的测向,学者们进行了一定程度的研究。文献[2-4]研究了非规则阵列的优化和合成,文献[5]仅对空间任意四元阵测向进行了研究,文献[6]对阵列结构与测向性能的关系进行了分析。但是,这些研究成果对非规则阵列的测向模糊性讨论较少。本文推导了适用于非规则结构平面阵列的MUSIC算法,完成了对空间多目标信号的DOA估计,同时分析了非规则平面阵列的阵列结构对测向模糊性的影响,以期为人们选择合适的阵列结构提供依据。

2 非规则阵列测向数学模型

在图1中的空间三维坐标系OXYZ,假设M 个阵元在平面XOY内组成任意几何结构形状的平面阵列,以某一阵元作为参考阵元(即位于坐标原点O),点Ai为平面XOY内中第i个阵元的位置,其坐标为(xi,yi)。假设空间有 N个不相关的远场信号sj(t)(1≤j≤N),分别以不同的方向入射到该平面阵列,远场信号为均值为零的平稳过程,各阵元接收的噪声为独立的加性高斯白噪声,第j个信号来波方向的方位角和俯仰角为(θj,φj)。

图1 非规则阵列模型Fig.1 Irregular geometry plane array′s model

在图1中,连接O和A点,从A点作垂直于入射信号的垂线,垂点为B点,其坐标为(x,y,z),由电磁波传播理论可知OB就是阵元A与参考阵元之间在Δt内传播的距离,由几何关系得

其中,AB2=(xi-x)2+(yi-y)2+z2,B点坐标分别为 x=OBsinφ cosθ,y=OBsinφ sinθ,z=OBcosφ。将B点坐标代入式(1),对其进行化简,可得阵元A与参考阵元间的波程差τ:

测向阵列的输出矩阵形式为

其中,A为阵列流形矩阵,S(t)为空间信号矢量,N(t)为噪声矢量,即:

式(5)中,导向矢量

式中,ω0=2πc/λ,τNi表示第i个信号到达第N 个阵元时对参考阵元的时延。

3 基于MUSIC算法的高分辨二维测向

基于协方差矩阵特征分解理论的子空间类方法MUSIC算法一直受到人们的重视,其能够提供信号参量的渐进无偏估计,使估计的均方差接近CR界,在特定条件下具有很高的分辨力、估计精度和稳定性。该算法的提出促进了特征结构类算法的兴起和发展,已成为空间谱估计理论体系中的标志性算法。

文献[7]利用3个直线阵进行组合实现了分别估计一维DOA,但其对非规则结构平面阵并不适用。对于非规则结构平面阵,基于MUSIC算法实现二维DOA估计的主要步骤如下。

(1)参数初始化。设置各阵元位置坐标以及信号源的入射角度,并建立导向矢量矩阵A。

(2)通过建模随机产生窄带信号源及噪声数据,建立阵列接收数据的矩阵形式X(t)[8]。

(4)对R进行特征值分解,按照降序排列其特征值及对应的特征向量。

(5)从第三步知R的获得是通过有限的采样数据实现的,因此其最小特征值并不相等,依据信息论最小描述长度准则对信源数目q进行估计。

(6)从第五步得到最小特征值的个数为(M-q),进一步求出特征矢量 VD+1,VD+2,…,VM,最小特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间 UN=[VD+1,VD+2,…,VM];

(7)计算MUSIC谱函数PMUSIC:

使 θ、φ分别在 0～ 360°、0～ 90°变化,对式(9)进行计算,绘制二维曲线并在二维空间进行谱峰搜索,即可估计得到信号源的方位角和俯仰角。高分辨二维DOA估计的流程图如图2所示。

图2 二维DOA估计的算法流程Fig.2 Flow of two-dimensional DOA estimation

在图2中,关键工作是建立导向矢量矩阵A,其具体过程在非规则阵列测向数学模型中有详细的研究。

4 测向模糊性分析

在图1所示的M元非规则结构平面阵中,天线阵的阵列流形如式(8)所示。对于复指数函数e-jt,其对于t是以2π为周期的周期函数,因此对于一个确定的 a(θ),可能存在互异的角度 θ1、θ2使得a(θ1)=a(θ2)成立,即并不能保证信号方向估计的唯一性。

假设信号入射角度为θ,若存在测向模糊,则必存在另一个入射角度 ψ,使得 a(θ)=a(ψ)成立,即向量的各个分量相等,由此可得

根据复指数函数的周期性,可得

其中,ki(i=1,2,…,M)为整数或零。对上式进行整理:

在图1中,设任意阵元 A与x轴夹角为θA,则阵元A的坐标满足

对上式进一步整理可得

对于M元非规则结构平面阵,在采用MUSIC算法测向时,在信号波达方向 θ上,对任意的-π≤(θ-ψ)/2≤π,和式(10)(其中 ki为整数或 0),如果有且仅有 θ=ψ时式(10)成立,则此时不存在测向模糊。若θ-ψ≠0时式(10)仍成立,那么此时就存在测向模糊。所以,是否存在测向模糊可归根于式(10)中ki是否有整数解或零解。测向模糊存在与否,取决于阵列的各阵元位置及信号的波长。在设计无模糊测向的阵列时应综合考虑这两方面因素。

5 仿真和分析

实验1 取阵元数为6元的平面阵,阵列结构分别采用矩形平面阵和任意形状平面阵,矩形面阵的各阵元坐标为(0,0)、(2,0)、(4,0)、(0,2)、(2,2)、(4,2),任意形状平面阵的各阵元坐标为(0,0)、(1,0)、(3,1)、(1,3)、(5,3)、(2,5)。空间信源个数为 2,入射角度分别为(20°,30°)和(110°,50°),信噪比假设为-10～20 dB,快拍数取512,信号频率为150 MHz。做100次蒙特卡洛实验分析矩形平面阵和任意形状平面阵的测向精度。

为了描述两种平面阵列的测向精度,定义二维测向时角度的均方根误差(RMSE)为

式中,θ、φ表示信号方位角和俯仰角的真值 , θ、 φ表示信号方位角和俯仰角的实验测量值。

在仿真过程中,改变信噪比,以5 dB为步长从-10 dB变化到20 dB,以100次测量结果的平均值作为测量结果。测向角度的RMSE与信噪比的关系曲线如图3和图4所示。

图3 信号(20°,30°)的 R MSE随SNR变化曲线Fig.3 Signal(20°,30°)variation curve of R MSE and SNR

图4 信号(110°,50°)的 R MSE随SNR变化曲线Fig.4 Signal(110°,50°)variation curve of R MSE and SNR

从图3和图4可以看出,对不同的信号入射角度,在信噪比变化过程中,在整体趋势上6元矩形平面阵列的均方根误差(RMSE)要大于阵元位置坐标任意的任意形结构平面阵列。两种阵形相比,任意形平面阵列的测向精度更好些。

实验2 取实验1中的两种6元平面阵列,空间信源个数为 2,入射角度分别为(10°,20°)和(80°,60°),在信噪比为5 dB时,做100次蒙特卡洛实验分析矩形平面阵和任意形状平面阵的二维MUSIC谱曲线图。

矩形平面阵的MUSIC谱曲线图及其等高线图如图5和图6所示。

图5 矩形平面阵的谱曲线图Fig.5 Spectrum of rectangle plane array

图6 矩形平面阵谱曲线的等高线图Fig.6 Spectrum′s contour of rectangle plane array

任意形平面阵列的MUSIC谱曲线图及其等高线图如图7和图8所示。

图7 任意形平面阵的谱曲线图Fig.7 Spectrum of arbitrary plane array

图8 任意形平面阵谱曲线的等高线图Fig.8 Spectrum′s contour of arbitrary plane array

从图5～8可看出,在相同条件下,矩形平面阵和阵元位置坐标任意的平面阵列两者都能够比较准确地实现信号的DOA估计,而且后者得到的空间功率谱的谱峰更尖锐,指向更精确。

实验3 对实验1中的两种6元平面阵列,理论分析其测向模糊性。将矩形平面阵和任意形平面阵的各阵元位置坐标代入式(10),经过Matlab计算发现在矩形平面阵时ki不存在,故该矩形平面阵在本实验条件下存在测向模糊问题,这一点从图6也可得到验证。在对任意形平面阵经过计算后,发现满足条件的ki存在,因此该阵列不存在测向模糊问题。通过进一步分析可知,测向模糊与阵元位置及信号波长有直接的关系,在图1所示的坐标系下设计任意形平面阵时,应首先保证位于x轴上的第一个阵元到参考阵元的距离d>λ/2,否则必存在模糊问题。

以上实验验证了数学模型对非规则结构平面阵列二维测向的有效性,为后续工程实践中应用论文的研究成果提供了可行性,具有一定的实用性。

6 结束语

天线阵的阵列结构对其测向性能有着直接影响。针对实际环境对阵列结构的约束和实际应用中的二维测向问题,本文建立了非规则平面阵列的通用测向数学模型,利用经典MUSIC算法对二维测向进行了研究,分析了阵列结构对测向模糊的影响。理论分析和仿真结果表明,论文提出的数学模型对非规则结构平面阵列的测向具有实用性,可广泛应用于任意平面空间的二维测向研究。在非规则阵列结构中如何选取最简单的阵型以符合测向的具体要求,将是后续研究工作的重点。

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