基于风险偏好的随机需求三级价格歧视决策

方国敏，刘 全

0 引言

三级价格歧视在现今的社会中随处可见。例如，铁路票价可以对学生打折；电厂对于工业用电实行低价格，而对家庭用电采用高价格等等。三级价格歧视是垄断厂商把自己面临的市场分成若干个不同的子市场，根据各个子市场的不同需求把总产量分配到各个子市场，在各个子市场上制定不同的价格，一般来说，需求弹性小的群体被索要高价，需求弹性大的群体享受低价。在需求函数已知的情况下，关于三级价格歧视的研究，现有的理论成果给厂商们提供了较好的参考价值[1～4]，主要涉及三级价格歧视对利润和社会福利的影响。但实际问题是，未来的需求对厂商来说是不确定的，这种不确定性就造成了现有的定价理论与厂商定价实践的差距，因此，随机需求条件下的定价问题显得十分必要。对于随机需求下的三级价格歧视定价问题，主要成果有：文献[5]讨论了有无容量限制两种情况下的三级差别定价决策模型，并利用计算机进行了模拟求解，但却并未涉及风险类型对决策的影响。实际上，厂商的风险类型在决策中起了非常重要的作用。在国外，Mahmudul Anam等人也只研究了对于一种特殊风险类型——风险规避厂商来说，三级价格歧视对产品价格、产量和社会福利的影响[6]。另外，大部分厂商在生产决策时，对需求函数的假定，几乎都是通过经验或对历史资料的分析、研究来确定出需求函数的具体形式,即在确定需求下，参考现有结论，研究最佳决策。本文将在文献[6]的基础上，以期望效用最大化为目标，建立随机需求下的三级价格歧视的一般模型，并就不同的风险类型，讨论确定需求与随机需求条件下对产量决策的影响。以期扩充现有随机需求下的三级价格歧视理论，为决策者在产量、定价决策时，提供参考。

1 随机需求下三级价格歧视模型

设垄断厂商有两个可以分割的子市场1、2，需求函数pi=ai-biQi+εi(i=1,2)，成 本 函 数 C=C0+c(Q1+Q2)。其中，C0为固定成本；εi为分布律已知的随机变量，且设 E(εi)=0,D(ε2i)=σ2i(i=1,2),cov(ε1,ε2)=σ12。则总利润为:

对于厂商来说，希望期望利润达到最大，但更希望期望效用达到最大，设u(π)表示利润为π时的效用，则期望效用为:

厂商可通过选择产量分配使期望效用达到最大，即随机需求条件下的三级价格歧视模型为:

其中，E1、E2分别为子市场1、2的产量分配可行域。由一阶条件，令 ∂U͂/∂Qi=0 ，即得:

期望效用U͂(Q1,Q2)的三个二阶偏导数分别为:

设方程组（1）的解为 (Q̂1,Q̂2)，则期望效用在点(Q̂1,Q̂2)的海赛矩阵:

又 A(Q̂1,Q̂2)=-2b1u'(π)＜0 ，则方程组（1）的解 (Q̂1,Q̂2)，即为随机需求条件下基于期望效用最大化的最优产量分配，相应有最优价格 p̂1=a1-b1Q̂1，p̂2=a2-b2Q̂2。

2 不同风险类型下的产量决策比较

厂商的风险类型是决定产量决策的主要方面之一。为了比较确定需求（即忽略随机因素的影响下的需求）与随机需求下的最优产量分配，将u'(π)在确定需求条件下的利润 π0=π(Q10,Q20)处的一阶 Taylor展开式 u'(π)=u'(π0)+u"(π0)(π-π0)+o((π-π0)2)作近视处理，忽略关于 (π-π0)2的高阶无穷小，令 u'(π)=u'(π0)+u"(π0)(π-π0)，从而方程组(1)变为:

其中

方程组（2）进一步化简为:

其中:

将(Q01,Q02)代入方程组(3)，注意到Q01,Q02分别为需求确定时两个子市场的最优产量分配，则:-2biQ0i+ai-c=0，从而:

收益的不确定性既可使决策者受损，也可使其有盈利的机会，因此任何一项投资决策都是利害共存的。由于收益的不确定性导致的利害共存的事态表现，便是人们常提到的风险。而风险偏好则是决策者面对风险时必然产生的权衡利害关系的心理反应，它体现了决策者对待风险的态度。决策者的财富水平、受教育程级、健康状况、收入水平、以及是否抚养小孩是影响投资者的风险偏好的重要因素[7]。风险偏好类型一般分为风险中性、风险规避、风险喜好三类。

2.1 风险中性厂商的产量决策比较

风险中性者的效用函数u(π)为过原点的直线，满足u'(π)≡c,u"(π)=0 。所以，对风险中性的厂商来说，由于u"(π)=0 ，从而有：

则：Q̂1=Q1,Q̂2=Q2

命题1在线性随机需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)条件下，若厂商是风险中性的，则在两个子市场中产量分配与确定需求下的产量分配是相同的。

命题说明，若厂商是风险中性，则随机需求条件下的产量分配可以参考确定需求条件下在两个子市场上的产量分配，现有许多确定性三级价格歧视理论都具有较好的参考价值。

2.2 风险规避厂商的产量决策比较

风险规避者的效用曲线是一条凸函数曲线，且为指数函 数 曲 线[8]，满 足 边 际 效 用 递 减 条 件 ，即 u'(π)＞0,u"(π)＜0。所以，对于风险规避的厂商有:

命题2在线性随机需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)条件下，记确定需求下的产量分配为(Q01,Q02)，随机需求下的产量分配为 (Q̂1,Q̂2)，ρ 为随机变量 ε1,ε2的相关系数，，若厂商是风险规避的，则:

因为厂商是风险规避的，则u"(π)＜0。

所以:

同理，当 ρ≥1/η时，Q̂2≤Q20;当 ρ＜1/η 时，Q̂2＞Q20。从而可得

结论说明，若厂商是风险规避的，则随机需求条件下与确定需求条件下在两个子市场上的产量高低，取决与两个市场的相关系数ρ与η的大小关系，需求不确定性条件下两个子市场的产量可能同时低于确定条件下的相应的产量，也可能一高一低。因为-1≤ρ≤1,η＜0，所以，是不可能出现的，即 Q̂1＞Q10，Q̂2＞Q02是不可能出现的。即需求不确定性条件下两个子市场的产量不可能同时高于确定条件下的相应子市场的产量。当相关系数ρ为非负数时，即两个市场的随机性为正相关或无关时，对于风险规避的厂商来说，需求不确定条件下的产量将低于确定条件下相应子市场的产量。

表2 2011年2～12月产品在市场2的销量统计表

2.3 风险喜好厂商的产量决策比较

风险喜好者的效用曲线是一条凹函数曲线，也为指数函数曲线[8]，满足边际效用递增条件，即u'(π)＞0,u"(π)＞0 。所以，对于风险喜好的厂商来说，作类似的讨论可以得到:

命题3在线性随机需求 pi=ai-biQi+εi(i=1,2)条件下，若厂商是风险喜好的，则在两个子市场中的产量分配(Q̂1,Q̂2)与确定需求下的产量分配(Q01,Q02)的关系是:

其中，η的含义同命题2。命题3的证明可以完全参照命题2的证明过程，在此从略。

这一结论说明，若厂商是风险喜好的，则随机需求条件下与确定需求条件下在两个子市场上的产量高低，仍然取决与两个市场的相关系数ρ与η的大小关系，其大小关系与厂商是风险规避的情况下恰好相反。由于ρ＜min{k,1/k}是不可能出现的，所以风险喜好的厂商其产量决策是不可能同时低于确定条件下的相应子市场的产量。当两个市场随机性为正相关或无关时，对于风险喜好厂商来说，需求不确定条件下的产量将高于确定条件下相应子市场的产量。

图1 产品在市场1的散点图与拟合曲线图

图2 产品在市场2的散点图与拟合曲线图

表1 2011年2～12月产品在市场1的销量统计表

3 应用实例

以四川简阳某企业的某一子产品的销售资料进行应用研究。2011年各月在两个子市场上的销售统计数据如表1、表2。下面应用随机需求下三级价格歧视模型确定2012年各月该企业的最优产量和相应的价格。

数据散点图1、2说明，价格与销售量的关系近似是线性的，故用线性函数拟合。市场1、2的月平均需求拟合函数分别为:

厂商的月总成本函数是确定的，为C=C0+112(Q1+Q2)，其中C0为月固定成本。为了便于讨论，设C0=0，所以，利润为:

在确定需求（ε1=ε2=0）条件下，2011年月平均产量分配应为:Q01=272(台)，Q02=165（台）。

随机需求条件下的产量决策与厂商的风险类型有关，

下面给出三种不同风险类型下的产量决策。

（1）风险中性

风险中性者的效用函数u(π)为过原点的直线，设u(π)=kπ,(k＞0)，方程（1）为：

所以，月平均产量分配为 Q̂1=272（台），Q̂2=165（台）。

（2）风险规避

风险规避者的效用曲线是一条凸函数曲线，且为指数函数曲线[8]，设 u(π)=1-e-π，εi～[-10,10](i=1,2)，ε1= ε2，则 ε1,ε2相关系数 ρ=1，σ1=σ2=，式⑴为：

即：

利用MATLAB解之得，月平均产量分配为:Q̂1=271（台），Q̂2=158（台）。

（3）风险喜好

风险喜好者的效用曲线是一条凹函数曲线，也为指数函 数 曲 线[8]，设 u(π)=-1+eπ，仍 然 设 εi～[-10,10],(i=1,2)，且 ε1=ε2，则 ε1,ε2的 相 关 系 数 ρ=1 ，σ1=σ2=，方程组（1）为：

即：

利用MATLAB解之得，月平均产量分配为：

此结果与命题3的结论Q̂1≥Q01，Q̂2≥Q02吻合。

4 结语

需求的不确定性是现实中厂商产量或定价决策的难点，现有的定价理论大部分都是在确定需求下进行，厂商将需求函数看成是确定的，即忽略随机因素的影响，对决策有何影响呢？本文的结论说明，只有厂商是风险中性时，二者的结果才是相同的；对于风险规避和风险喜好的厂商来说，二者的结果不仅与厂商的风险类型有关，而且还与两个相关市场的需求的情况和随机变量的相关系数有关。虽然本文未能给出随机需求与确定需求条件下其产量分配的具体关系，实例中的效用函数也具有特殊性，但理论结果为厂商们在处理随机需求时，忽略随机影响与实际结果有何差异提供了参考。三种不同风险类型的厂商都可以参考确定需求条件下的结论，结合自己的风险类型，确定产量与价格决策。

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