混合变时延中立型控制系统的鲁棒稳定性新准则

王 婷 李 涛 费树岷 杨 欣

(1东南大学复杂工程系统测量与控制教育部重点实验室，南京 210096)

(2南京航空航天大学自动化学院，南京 210016)

混合变时延中立型控制系统的鲁棒稳定性新准则

王 婷1李 涛2费树岷1杨 欣2

(1东南大学复杂工程系统测量与控制教育部重点实验室，南京 210096)

(2南京航空航天大学自动化学院，南京 210016)

研究了具有混合区间变时延和分式不确定性的中立型控制系统的鲁棒稳定性.首先，在系统参数不确定性不存在时，通过构造改进型的Lyapunov-Krasovskii泛函，利用Jesnen积分不等式并引入少量自由权矩阵，综合矩阵凸组合与交互式凸组合等方法，有效估计了Lyapunov-Krasovskii泛函导函数上界，并基于线性矩阵不等式建立了时延相关的渐近稳定性判据.考虑系统参数具有不确定性时，通过引入改进的有界实引理，给出了系统的鲁棒稳定性准则，且易于借助Matlab工具箱中的LMI进行验证.数值算例和比较结果说明该准则的保守性较弱.

中立型控制系统;时延导数相关;鲁棒稳定性;不确定性;线性矩阵不等式

时延现象广泛存在于各种实际的控制系统中.时延的存在往往会导致系统控制效果不佳，甚至造成系统不稳定.因此，分析时延现象对系统动力学行为的影响以及如何利用或消除这种影响是当前控制理论领域的研究热点之一.许多控制系统的数学模型可用中立型泛函微分方程来描述［1-2］，即时延同时存在于状态及其导函数中，这类动态系统因而被称为时延中立型系统，如人口动态模型、分布式网络模型、加热温度控制模型等［3］.对这类系统的研究主要围绕着采用有效方法以减少稳定性判据保守性而展开［4-15］.时延系统结论的保守性可表征为关于时延常数的灵敏度，若结论相对于时延灵敏度较高，则其保守性相对较弱.近十年来，研究者们得出了许多关于时延中立型控制系统稳定性的结论［4-13］.Samli等［4-5］通过构造特殊的Lyapunov-Krasovskii泛函，探讨了一般时延中立系统的全局稳定性问题.Gao等［6-7］在对稳定性进行分析的过程中，将非线性项作为扰动项进行处理.Han［8-9］利用时延分割方法，建立了判定时延中立型系统保守性较小的稳定性准则.此外，在实际情形中，系统精确的数学模型往往难以得到，时延中立型系统的鲁棒稳定性受到了广泛关注［10-13］，然而在估计Lyapunov-Krasovskii泛函导函数上界时，一些重要的函数项常被忽略，且没有考虑变时延导函数下界对结论保守性与适用范围的影响［14］.凸组合方法因能有效降低保守性而得到了广泛应用［13-14］.Park等［15］提出了一种交互式凸组合方法，可更为有效地降低保守性.

本文研究了变时延与分布时延不确定中立型控制系统的鲁棒稳定性.通过构造新颖的Lyapunov-Krasovskii泛函，并综合凸组合技术，有效估计了Lyapunov-Krasovskii泛函导函数的上界.在考虑时延及其导函数上下界均可测的情况下，基于LMIs，给出了系统鲁棒稳定性的相关判据.最后，利用数值算例说明该准则的有效性.

1 系统描述与引理

式中，x(t)∈Rn为状态向量;C∈Rn×n为常数矩阵;A(t)=A+ ΔA(t)，B(t)=B+ ΔB(t)，D(t)=D+ΔD(t)，其中 A，B，D∈Rn×n为常数矩阵.

假设1v(t)，τ(t)为时变函数且满足

式中，τ0，τm，μ0，μm，vm，σ0，σm为给定常数.

假设2 ΔA(t)，ΔB(t)，ΔD(t)为未知时变矩阵函数且满足

考虑如下形式的混合时延中立型控制系统:

式中，F，J，Ei(i=1，2，3)为已知常数矩阵;Λ(t)为未知时变函数矩阵，且满足 ΛT(t)Λ(t)≤I.

引理1对于任意常数矩阵W∈Rn×n，W=WT＞0，函数0≤r(t)≤rM，及向量函数˙x:［－rm，0］→Rn，则

引理2 函数f1(t)，f2(t)，…，fN(t):Rm→R在Rm子区间Γ取正值且满足f1(t)/α1+f2(t)/α2+…+fN(t)/αN:Γ→R，其中 αi＞0 且 ∑iαi=1，则函数在区间 Γ 上的交互凸组合函数fi(t)满足，对任意函数成立.

引理3 如果I－GTG ＞0成立，定义 Υ(t)={Δ(t)=Σ(t)［I－GΣ(t)］－1，ΣT(t)Σ(t)≤I}，并给定适当维数矩阵 H，J，R且 H 对称，如果 H+JΔ(t)R+(JΔ(t)R)T＜0成立，则存在常数 δ＞0使得

2 时延相关稳定性准则

首先，考虑系统(1)不确定性不存在的情况，即考虑如下的正则系统:

可得如下定理.

定理 1 假定‖C‖ ＜1，对于条件(2)和(3)中给定常数 τ0，τm，μ0，μm，υ0，υm，σ0，σm，如果存在n×n正定常数矩阵 P，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，Q，R，U，V，W，以及任意n×n常数矩阵 H1，H2，H3，X，Y，Z，使得下式成立:

式中

则系统(4)是渐近稳定的.

证明 基于式(2)和(3)，选取如下的Lyapunov-Krasovskii泛函:

借助引理1，计算出Vi(x(t))(i=1，2)沿着系统(4)状态轨线的导函数，即

根据引理2，由式(5)和式(9)可得

同时，对于任意适当维数的常数矩阵Hi(i=1，2，3)，由式(4)可得

综合式(8)～(13)，可以推导出

式中

根据凸组合定义，式(6)能保证Υ(t)＜0成立，即一定存在一个正常数χ＞0，对于任意x(t)≠0，使得成立.根据 Lyapunov-Krasovskii稳定性定义可知，系统(4)是渐近稳定的.证明完毕.

根据定理1及引理3，得到系统(1)的鲁棒稳定性判据.

定理 2 假定‖C‖ ＜1，对于条件(2)和(3)中给定的常数 τ0，τm，μ0，μm，υ0，υm，σ0，σm，如果存在n×n正定常数矩阵 P，P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，Q，R，U，V，W，任意n×n常数矩阵 H1，H2，H3，X，Y，Z 以及常数 δj＞0，μj＞0，使得下式成立:

则系统(1)是鲁棒稳定的.

证明 根据定理1的证明方法和结论，分别将结论(6)中的矩阵A，B，D用A(t)=A+FΔ(t)E1，B

根据引理3可知，一定存在2个常数 ρj＞0，υj＞0，使得

成立.根据Schur补定义，假定δj=ρ－2j，μj=υ－2j，可以得到式(17)等价于式(16)成立，因此定理2成立.证明完毕.

注1 定理1与定理2在估计Lyapunov-Krasovskii泛函导函数上界时，巧妙综合了凸集合定义和交互式凸组合定义，给出了判定系统(1)与系统(4)全局稳定且保守性较弱的充分性条件.式(5)，(6)，(14)和(15)所表示的稳定性准则可用Matlab工具箱中的LMI进行验证.

注 2 当式(7且定理1和2在时延变化率下界不可测时，结论仍然成立.

3 数值算例

例1 考虑时延中立型控制系统(4)如下:

式中，0≤c＜1.

设定c=0.1，υm=1，σ0=σm=0.当时延τ(t)导函数下界可测但不考虑时，由表1可知，文献［11］中定理1的保守性较本文中定理1弱一些，但差别不明显.当设定时延τ(t)导函数下界μ0=0.4时，由表2可知，与文献［11］中的结论相比，定理1的保守性明显降低.因此，当时延变化率下界可测时，考虑下界有利于降低结论保守性.

表1 μ0未知时τm的上界值

表2 μ0已知时τm的上界值

例2 考虑如下所示的不确定性时延中立型系统［15］:

式中，0 ＜c＜1;δi(i=1，2，3，4)为未知参数，且满足设定c=0.1，vm=0.5，σ0=μ0=0，σm=0.1，μm取不同值时，得到τm的上界值(见表3).由表3可知，本文中定理2的保守性明显弱于文献［13］中的定理1.

4 结语

表3 μ0，σ0，vm已知时 τm的上界值

本文研究了具有变时延与分布变时延不确定中立型系统的鲁棒稳定性.通过构造Lyapunov-Krasovskii泛函，利用广义凸组合定义与Jensen不等式，在同时考虑变时延与导函数上下界可测时，基于线性矩阵不等式，建立了系统渐近稳定与鲁棒稳定的相关判据.最后，通过数值算例说明该判据具有较大范围的适应性.

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Novel criterion on robust stability for neutral control systems with mixed time-varying delays

Wang Ting1Li Tao2Fei Shumin1Yang Xin2

(1Key Laboratory of Measurement and Control of Complex Systems of Engineering of Ministry of Education，Southeast University，Nanjing 210096，China)
(2School of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China)

The robust stability of neutral control systems with mixed interval time-varying delays and fractional uncertainties is investigated.First，for the system without uncertainties，an improved Lyapunov-Krasovskii functional is constructed.By using the Jesen integration inequality and introducing some free-weighting matrices，the upper bound of the derivative of the Lyapunov-Krasovskii functional is efficiently estimated by combining the matrix convex technique and the reciprocal convex technique and a delay-dependent asymptotical stability criterion is derived based on linear matrix inequalities.When the uncertainties are existent，the sufficient condition on robust stability is established by utilizing the improved bounded real lemma.The conclusion can be checked by the LMI in Matlab toolbox.Finally，the numerical examples and the comparison results show that the conclusion is less conservative than some existent ones.

neutral control system;delay-derivative-dependence;robust stability;uncertainty;linear matrix inequality

TP273

A

1001－0505(2012)02-0274-06

10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.02.016

2011-08-26.

王婷(1980—)，女，讲师，maygirl1212@sohu.com.

国家自然科学基金资助项目(60904023，60905009，61004032，61172135)、江苏省自然科学基金资助项目(BK2010507)、国家博士后基金资助项目(201003546).

王婷，李涛，费树岷，等.混合变时延中立型控制系统的鲁棒稳定性新准则［J］.东南大学学报:自然科学版，2012，42(2):274-279.［doi:10.3969/j.issn.1001 －0505.2012.02.016］