大学概率统计课程与普通高中(新课标)统计概率内容的衔接

冯丽萍

（南昌工程学院 理学系，江西 南昌 330099）

大学概率统计课程与普通高中(新课标)统计概率内容的衔接

冯丽萍

（南昌工程学院 理学系，江西 南昌 330099）

本文通过对普通高中新课标教材和大学本科教材中概率论与统计内容不同要求的对比，讨论了大学本科阶段《概率论与数理统计》课程与新课标统计与概率内容的衔接问题.

《概率论与数理统计》；大学本科；普通高中；新课标“统计与概率”；对比；衔接

1 引言

“概率论与数理统计”是研究随机现象数量规律性的一门学科，也是数学中应用最广泛的学科之一.《普通高中数学课程标准》将“算法初步、统计、概率”作为高中阶段必修课程五个模块中的第三模块，并作为四个选修课程中系列1、系列2的模块之一.而在大学本科阶段，《概率论与数理统计》作为一门公共基础课，是工科各专业的一门重要基础理论课.本文就普通高中和大学本科阶段对概率与统计学习的不同要求进行列举和对比，并对大学本科阶段《概率论与数理统计》课程与普通高中新课标统计与概率教育的衔接进行讨论.

2 普通高中及大学本科阶段对于概率与统计的学习要求对比

大学本科阶段《概率论与数理统计》课程与普通高中阶段“统计与概率”教学板块的知识点及内容要求对比，见表1.(本文选取了北师大版的“普通高中(数学)课程标准实验教科书”及浙江大学出版社出版、范大茵编写的教材 《概率论与数理统计》（第二版）).

3 对大学本科《概率论与数理统计》课程与普通高中阶段新课标教材中统计与概率内容衔接的思考

在教学过程中，教师是课程的实施者，也是学生学习的引导者和组织者.大学本科《概率论与数理统计》课程教师（以下简称“教师”）在教学设计中充分考虑本科阶段与高中阶段统计与概率内容的衔接是很有必要的.

3.1 教师对新课标教材中的统计与概率内容及其深度应有所了解

3.1.1 高中阶段概率这部分教学的主要目的是通过大量生活中的实际例子，使学生了解随机现象及概率的意义，理解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性等，而不追求严格定义及形式化描述.在大学阶段，可以通过高中课本的一些典型例题，唤起学生对高中知识的记忆，进而给出一些概念的形式化描述，并提醒学生注意大学《概率论与数理统计》课程的抽象性与普通高中阶段“统计与概率”教学直观性的不同.

3.1.2 高中必修3通过实例使学生理解古典概型的特征，并初步学习通过古典概型解决一些实际问题，而没有把重点放在如何计算古典概率上.大学《概率论与数理统计》课程中古典概型的计算是一个难点，对于古典概率计算的要求比高中阶段要高.所以，尽管学生在高中阶段已经学习了古典概型，但是在古典概率的计算方面还是欠缺的，在大学阶段要加强这一部分的训练.

3.1.3 高中“选修2-3”通过实例使学生了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n重贝努里试验模型，并能解决一些简单的实际问题.但是，高中课本没有涉及条件概率的基本性质，没有明确给出概率的乘法公式，也没有介绍全概率公式和贝叶斯公式.而关于事件相互独立的概念，高中课本只是粗略地介绍了两个事件相互独立的情形，并没有给出多个事件相互独立的定义，只是含糊地说“如果A1,A2,…,An相互独立，则有P(A1A2…An)=P(A1)P (A2)…P(An)”.对于这些内容，在大学阶段可结合高中实例（见案例例1、例2），给予补充和纠正.

3.1.4 高中“选修2-3”中要求通过实例使学生理解离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值和方差的概念，学会计算简单的离散型随机变量的均值和方差.高中课本没有给出随机变量的严格定义，对于离散型随机变量也只介绍了有限值情形，没有介绍无限可列值的情形，也没有介绍连续型随机变量的定义和分布函数的概念.对于离散型随机变量的均值和方差，只简单介绍了概念，没有讨论它们的性质.在大学阶段，随机变量及其分布是重点内容，可结合高中实例（见案例例3、例4），给予补充和加强.

表1

浙大版《概率论与数理统计》章节 内容与要求 高中阶段“统计与概率”内容Ch5数理统计的基本概念 （4学时）§1总体和样本§2概率论和矩阵代数的基础知识§3几个常用的分布和抽样分布Ch6参数估计（6学时）§1参数的点估计§2估计量的评选标准§3参数的区间估计Ch7假设检验（6学时）§1假设检验的基本概念§2正态总体下参数的假设检验§3非参数假设检验1.理解总体、个体、样本和统计量的概念. 2.理解样本均值、样本方差的概念，掌握根据数据计算样本均值、样本方差的方法. 3.了解x2分布、t分布、F分布的定义，并会查表计算分位数. 4.了解正态总体的某些常用抽样分布、如正态总体样本产生的标准正态分布、x2分布、t分布、F分布等。1.理解点估计的概念，了解矩估计法(一阶、二阶)与极大似然估计法. 2.了解估计量的评选标准 (无偏性，有效性，一致性). 3.理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值及方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差及方差比的置信区间. 1.理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误. 2.了解单个和两个正态总体的均值与方差的假设检验。必修3：（16学时）（1）理解随机抽样；学会通过简单随机抽样的方法从总体中抽取样本；了解分层抽样及系统抽样的方法.（2）学会做频率分布表及频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并了解它们分别有什么特点.（3）学会从样本数据中求出基本的数字特征（例如平均数、标准差等），并据此进行分析.（4）学会通过样本的频率分布估计总体的分布，学会用样本的数字特征估计总体的数字特征.（5）学会通过具体实例中的两个相关联变量的数据作出散点图，从而直观地认识变量间的关系.（7）了解最小二乘法思想；学会根据所给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.选修1—2（14学时）统计案例：（1）通过具体例子，了解独立性检验的基本思想、方法和初步应用.（2）通过具体例子，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法和初步应用.（3）通过具体例子，了解聚类分析的基本思想、方法和初步应用.（4）通过具体例子，了解回归的基本思想、方法和初步应用.选修2—3：同选修1-2内容

3.1.5 高中“选修2-3”通过实例使学生理解超几何分布、二项分布及正态分布，并能进行简单的应用.高中课本对超几何分布、二项分布，都给出了其分布列的表达式，但是对于正态分布，只借助直方图等直观图表，使学生认识正态曲线的特点及所表示的意义，没有给出正态分布的概率密度函数，也没有介绍标准正态分布和正态分布表.在大学阶段，可结合高中实例（见案例例5、例6），对于正态分布给予补充和加强.

3.1.6 高中阶段统计教学的主要目的是通过统计案例引导学生体会统计的作用和基本思想.鼓励学生经历数据处理的过程，引导学生掌握抽取样本的不同方法，并通过样本数据计算相应的数字特征，培养他们对数据的直观感觉，使学生认识到统计结果的随机性.对统计中的概念只通过实例进行描述性说明，而不追求严格定义.大学阶段，对于数理统计中的概念都是给出了严格定义或是形式化描述的，在介绍定义时可结合高中课本典型例题（见案例例7）进行引入.

3.1.7 高中阶段的统计内容，只要求学生了解几种统计方法的基本思想及其初步应用，对理论基础不做要求.在大学阶段须提醒学生注意，大学数理统计教学中对理论基础方面的要求是比较严格的，很多公式是需要记忆、很多计算是需要练习的，这与高中的要求有很大不同，学生们要及早调整自己的学习思路和方法，以适应大学概率与统计的学习.教师了解新课标教材中的统计与概率内容及其深度，有助于在授课过程中调整重点和难点，合理分配内容所需的授课时间.另外，新课标教材中大量地运用案例引入概念、组织教学，本科教师可以选取一些新课标教材中的实际案例，来唤起学生对已学过的知识的回忆.例如，分析在商场促销活动中，转转盘抽大面额奖券和直接获得小面额奖券，哪种更合算；通过掷色子或掷硬币决定飞行棋谁先走，并设计一个对双方都公平的游戏规则，与同学玩一玩；统计小丽一家各类食物摄入量的百分比，并绘制扇形统计图，叙述从扇形统计图中获得了哪些信息；调查人们初次结婚的年龄是否随着时代的发展而逐渐增大等等.

3.2 教师应引导学生认识到本科 《概率论与数理统计》课程与新课标教材中的统计与概率在内容及要求上的不同

高中阶段强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，重点培养学生的运算、作图、推理、处理数据以及使用科学计算器等基本技能.而在本科教学中，注重概念、理论的掌握，思想、方法及计算能力的培养，知识点的广度和深度大幅度提高.例如，在高中阶段选修2—3中关于随机变量，只给出“随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量”这样一个不太严谨的定义，没有介绍样本空间、样本点，更没有指出随机变量是定义在样本空间上的实值函数，也没有提到随机变量的分布函数.

教师应提醒学生及时发现和适应本科教学与高中教学的巨大差异，并调整自己的学习方法，跟上本科的教学进度.

3.3 教师可采取多样化的教学手段.

相较于高中阶段，大学本科阶段课程的趣味性和直观性有所降低，理论性和逻辑性有所提升，这让很多学生一时难以适应，教师可根据不同的教学内容及学生的实际情况，采取多样化的教学手段，以提高学生的学习兴趣和积极性.

3.3.1 可以选择一些有趣的，既能体现数学的思想、方法，又与日常生活密切相关，能够反映数学应用的素材，例如，体育比赛预测、计算彩票概率等，使学生感觉到数学就在我们身边，数学的应用无处不在.

3.3.2 可借鉴新课标的教学要求，设置“数学探究”“数学建模”和“数学文化”等新型教学活动，通过收集数据、自主探索、合作交流等方式或阅读文献、讨论交流、撰写论文等方式，把这些活动适当地穿插在教学内容中，给学生留下适当的拓展空间，并给学生提供相关的背景材料、示范案例和课外阅读的参考书目及相关资料源，帮助学生自己设计学习活动，引导学生自主探索，鼓励学生完成课题作业或专题总结报告，对有关课题作进一步探索和研究.这些拓展、延伸的内容不作为考试的要求.

3.3.3 借助信息技术来呈现以往课堂教学中难以呈现的课程内容，教师可向学生提供相关电子书籍的下载网址、相关论文网站及网上交流平台，鼓励学生使用科学计算器、计算机软件、互联网等各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，引导学生改进学习方式，借助现代信息技术来学习数学知识，并探索和研究一些自己感兴趣的数学问题.

案例

例1100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的重量合格，85件产品的长度、重量都合格.现在，任取一件产品，若已知它的重量合格，那么它的长度合格的概率是多少？

例2 经过调查发现，某班同学患近视的概率为0.4.现随机抽取该班的2名同学进行体检，求他们都近视的概率.

例3 已知10件产品中有2件不合格品.现从这10件产品中任取3件，这是一个随机现象.（1）写出该随机现象所有可能出现的结果；（2）试用随机变量来描述上述结果.

例4 设有12个西瓜，其中有4个重5千克，3个重6千克，5个重7千克，求西瓜的平均质量.

例5 已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得的次品数，试写出X的分布列.

例6 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中目标的概率都为0.75，且各次击中目标与否是相互独立的.用X表示这4次射击中击中目标的次数，求X的分布列.

例7 医生如何检验人的血液中血脂的含量是否偏高的？你觉得这样做的合理性是什么？

〔1〕范大茵，陈永华.概率论与数理统计（第二版）.浙江大学出版社，2003.

〔2〕中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（修改稿）.

〔3〕中华人民共和国教育部.全国普通高中数学课程标准（实验）.

数学是科学之王，现代科技的高速发展离不开数学的发展.数学是思维的体操，能够极大促进儿童智慧的发展.在基础教育阶段，儿童通过游戏获得数学知识，培养积极的数学情感，也就意味着他们开始掌握了开启智慧大门的钥匙.学好数学，对儿童将来学业的进步以及终身发展大有裨益，起着不可估量的作用.

3—9岁的儿童处于由直观形象思维向抽象思维的过渡阶段，也是儿童数学概念初步形成以及发展的关键期.因为思维水平的限制，这一时期儿童还不能完全理解抽象的数学概念.幼儿园以及小学低年级的数学教育是数学教育的起始，不仅仅是教会儿童数几个数、做几道算式题，更重要的是通过数学教育激发儿童的探究欲望和求知欲，培养儿童良好的学习品质，初步发展儿童的抽象逻辑思维能力.“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”发源于英国的BEAM数学突破传统课程开发的技术理性，权利尊重理念下教师与学生互为主体，寓教于乐的游戏教学形式，不仅让孩子获得数学知识，更让孩子在操作性学习过程中爱上数学.

1 BEAM数学教学体系的建构与发展

BEAM是BeAMathematician的缩写，意思是“成为一个数学家”，由英国伦敦大学国王学院MikeAskew教授等70多位数学教育领域著名专家经过近20年精心研究而成.BEAM数学在英国受到了广泛的欢迎，已经成为英国基础数学教育领域的一支奇葩，得到广泛的推广实施.BEAM数学是BEAM教育出版公司研发的一套适合幼儿园、小学的一套数学教学体系.BEAM公司的前身是20世纪80年代初英国政府资助的数学专题教学研究课题组，成立至今，一直致力于创新性数学教学方法的改革以及教具教材的研发出版，为儿童提供有趣、具有挑战性和娱乐性的数学教育.

BEAM数学根据不同年龄段儿童的思维水平特点，为3—5、7—9、9—11、11—13岁的儿童提供了个四阶段的教学内容，每个阶段包括若干丰富数学游戏活动，课程资源由大量教具和少量配套操作纸质活动手册组成.教学形式既有小组游戏、也有单独游戏和集体游戏.BEAM数学的教育理念是让孩子在轻松愉快的数学游戏中开发数学潜能，获得数学知识，训练数学思维，培养数学情感.

2 BEAM数学教学活动的设计与实施

“巫婆的咒语”游戏活动是BEAM数学3-5岁年龄段40多个游戏活动之一.40多个数学活动涵盖了数量、空间、分类、排序等知识内容.针对3岁儿童设计的教学活动.与“巫婆的咒语”类似的游戏活动还有“小鱼回家子”“小熊的野餐”等.

活动名称：巫婆的咒语玩家人数：

适合2个玩家适合年龄：Vol.28No.7 Jul.2012

赤峰学院学报（自然科学版）

JournalofChifengUniversity（NaturalScienceEdition）

第28卷 第7期（上）2012年7月

英国基础教育BEAM数学的建构与启示

凌晓俊1，时 松2

（1.东北师范大学 教育科学学院，吉林 长春 130024；吉林师范大学 教育科学学院，吉林 四平 136000）

摘 要：数学是基础教育的重要学科.如何在培养儿童数学兴趣的基础上，训练儿童的思维，提高儿童的数学知识是全球面临的一个教育难题.英国的BEAM数学突破传统课程开发的技术理性，改变枯燥的数学学习，寓教于乐，不仅让儿童在操作性学习中获得了大量的数学知识，而且促进了儿童数学思维和情感的积极发展.基于我国基础数学教育现状的思考，应从以下两个角度重建我国基础数学教育：注重儿童学习的主体建构，创设丰富的操作环境；关注数学教育生活化，知识与兴趣相辅相成.

关键词：BEAM数学；游戏；材料；操作；生活

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3—4岁

潜能开发：

能正确点数6以内的物体并说出总数；能积极参与活动，遵守游戏规则.

材料准备：

带水塘的游戏板1张；昆虫若干；青蛙模型2只；莲叶模型2片；2—4黄色数字卡片2套；2—6蓝色数字卡片2套；“花园—水塘”转盘1个；小孩模型2个.

游戏过程：

活动情境：你们被巫婆的魔法咒语变成了青蛙，你们需要解除魔咒变回人类.只有在莲叶上收集到正确数量的昆虫，咒语才会被打破，青蛙才能变回小孩.

1.让小朋友坐在游戏板旁边，每个小朋友分一只青蛙，让他们把青蛙放在游戏板的石头上.再分给每人一片莲叶，挨着自己的青蛙放进水塘边的方形格内.

2.打乱2-4的黄色数字卡片，一个玩家抽出一张牌，面朝上放好.另一个玩家找出显示同样数字的另一张卡片，把卡片放在游戏板上.这个数字卡片显示的数字就是你们应该得到的可以打破咒语的昆虫数量.

3.幼儿轮流转转盘，根据箭头的指示，拿一只昆虫放到花园里或者是莲叶上.

4.当青蛙旁边莲叶上面的昆虫数量达到了卡片显示的数字时，你就可以解除咒语，变回人类.陪伴另一个小朋友继续游戏，直到他也得到了同样数量的昆虫变回人类.如果盘子里面的昆虫都取走了，可以把花园里面的昆虫放回盘子接着使用.

有效提问：

1.你的数字卡片上是几？那么你需要在莲叶上收集几只昆虫才能变回人类？

2.你收集了几只昆虫？还差几只？

有用词汇：

一样、多于、少于、几只

活动延伸：使用2—6蓝色数字卡片2套.

此活动教学目标让3岁孩子感知4以内物体的数量，符合儿童经验发展水平，难度适宜；教学内容以打破咒语为主线，通过数字卡片颜色的变化增加难度，考虑儿童发展差异性，因材施教；教学材料是仿真性高、安全性高、色彩鲜明的不同类别的昆虫以及罗盘、游戏情景板，选择材料成盒包装，方便取放；教学方法采用直观教学法，形象生动；教学评价以教师观察性的对话为主，通过有效提问和关键词汇引导儿童在过程中认知建构.

单个BEAM数学活动的玩家一般为2-4人，轮流游戏，其他孩子可以在其它几十种活动材料中自由选择喜欢的游戏.在活动的选择上，与蒙特梭利教育法有共同之处，但在活动的形式上迥然不同，BEAM数学教学活动更多的是采取小组合作游戏的形式，课堂氛围热烈活跃，交流频繁，讨论积极.整个数学活动的教与学充分体现了寓教于乐的游戏教学理念，教师是整个游戏活动的引导者.

3 BEAM数学对我国基础数学教育的启示

中国基础教育中的数学教育近些年取得了较快的发展，然而理论研究的层级较低，实践层面依然受传统学科教学方式的影响，儿童没有完全被解放出来，在课程教学设计中处于压抑的技术理性状态，从而降低了我国基础教育数学教育的长久效能.较之英国BEAM数学寓教于乐的新型教学体系，反思我国基础教育数学教育存在的问题，改进重构我国基础阶段数学教学体系.

3.1 操作材料丰富，注重儿童学习的主体建构

BEAM数学为3-9岁儿童的数学学习提供了很多动手操作的材料.儿童可能不认识数字“5”，但是能在游戏中感知5个漂亮可爱的小青蛙.学前儿童利用丰富的毛绒、橡胶、塑料、木头等仿真安全制品的数学材料开展数学游戏，主动获取物体间数量关系、构建数学知识体系.进入小学阶段，BEAM数学的教学活动设计在操作材料的使用上慢慢过渡到象征性物体，原本的仿真实物由抽象的硬币、棋子、卡片代替.儿童在动手操作中，进行积极的数学思维活动，实现外部动作向内部思维活动的转化.任何知识都发源于动作，动作是联系主客体的桥梁，动作发展了，主客体各自的练习就得到了发展，它们分别演化为关于客体的物理知识结构和关于主体的逻辑数理知识结构.[1]BEAM数学这种借助外部动作“内化”数学思维活动的操作性学习，帮助儿童向抽象数学概念思维活动的过渡奠定了坚实的基础.

当前我国基础教育领域数学教育存在的一个突出问题是操作性学习材料缺乏，教学材料依然以纸质材料为主，儿童的学习停留在黏贴、连线、画

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--图、算数写字等方式.操作材料的匮乏直接影响到我国基础教育的教学方法，儿童无法在动作中发展，只能依赖教师的语言，机械记忆.数学是一个比较抽象的学科，早期儿童数学概念的获得需要大量经验的支撑，而经验来源于与实物的互动.皮亚杰认为数学是一种逻辑数理知识，它不存在于实际物体之中，儿童获得数理逻辑知识不是从客体本身，而是通过摆弄这一动作性过程来发展数学认知.儿童对逻辑数量关系的理解和掌握有赖于他们自身直接与物体的相互作用.而我国的基础教育，尤其是小学低年级，教室内除了教师和孩子就是黑板和桌椅，环境单一，教学材料匮乏.BEAM数学给我国的启示之一是：多种途径丰富数学教学材料，增加儿童动手机会.

3.2 生活皆教育，知识与兴趣相互推进

皮亚杰提出了儿童思维发展四阶段理论，每个年龄阶段的儿童数学学习呈现出不同的思维水平.[2]思维的发展具有一定的阶梯性和递进性，因此教育要遵循儿童的发展水平.BEAM数学根据不同年龄段儿童的思维水平特点，为3—11岁的儿童提供了三个阶段的课程资源.BEAM第一阶段的内容包括了幼儿园数学学习的数、量、空间等主要知识要点，孩子能通过游戏逐渐掌握10以内数量的加减法；第二阶段的内容主要是100以内单位数和双位数的加减法；第三阶段的学习主要是10以内单位数的乘除法.在教学材料的使用上逐渐由仿真实物向抽象数字符号过渡.三个阶段的数学学习充分考虑到了幼小衔接的有效过渡.

兴趣是人们探究某种事物带有感情色彩的一种认识倾向.它是儿童学习数学知识，发展数学抽象思维的内在积极因素.古今中外不少伟大的科学家和杰出人物，他们的创造与成就往往和对所从事的事业具有的浓厚兴趣密不可分.德国大数学家高斯幼时就对数学产生了浓厚的兴趣，兴趣激励着他顽强地攀登上数学的高峰.BEAM数学则以孩子喜闻乐见的形式，让孩子在轻松愉快的环境中，轻轻松松学数学.比如BEAM数学5-7岁阶段“阿尔法空间站”的活动情境为“你是星际飞船的指挥官，你的任务是为从地球到阿尔法空间站去旅行的人们规划出一条安全的路线.为了达到这个目标，你必须沿着太阳系的轨道控制三个行星.”该活动的教学目标是练习20以内的加法，精彩的情景激发儿童的学习兴趣，儿童通过两个骰子相加潜移默化中学习数学知识.一日生活皆教育，生活无时无刻不含教育.BEAM数学设计的数学活动大多来源于生活，“单项车赛”“超市购物”“生物学家远洋”等，利用儿童熟悉的生活化的游戏情景，让儿童感觉到数学与生活同在、紧密相连，并学习运用数学知识解决一些简单的生活问题，激发学习数学的兴趣，促进数学思维的发展.

中国现在很多地区幼儿园、小学数学教育虽然也会让一些儿童获得一些刮目相看的数学知识，可是这些知识获得的方法往往是强化训练，以牺牲儿童的数学兴趣为代价.我国基础教育阶段数学教育过于强调数学学科的系统系、逻辑性，严格按照年级教学，教学目标细化、难度层次分明.按照抽象的学科逻辑顺序编排课程利于系统传授教学知识，但是基础教育阶段，尤其学前教育阶段以及幼小衔接阶段，教学不仅要考虑到学科特点，还要遵循儿童的心理特点，在教学方法上突出兴趣的重要性，课程编制逻辑顺序与心理顺序相结合.BEAM数学给我国的启示之二是：教学与生活相互结合，知识与兴趣相互推进.

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注 释：

①此文的写作基于对伦敦幼儿园的考察，在此一并感谢英国BEAM教育出版公司以及长春出版社所提供的教具和资料.

参考文献：

〔1〕朱家雄.幼儿园课程[M].上海：华东师范大学出版社，2011.16.

〔2〕黄瑾.学前儿童数学教育[M].上海：华东师范大学出版社，2007.38.

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A 文章编号：1673-260X（2012）07-0209-04

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1673-260X（2012）07-0206-03