含棒状共晶团复合陶瓷细观强度模型研究

李宝峰 郑 坚 倪新华 孙 涛 付云伟

军械工程学院，石家庄，050003

0 引言

20世纪80年代中期发展起来的纳米陶瓷是纳米材料的重要组成部分，纳米陶瓷的出现为陶瓷增韧带来了新的希望，纳米复相陶瓷已成为近年来陶瓷材料领域的研究热点之一，具有发展成为一种新型结构材料的良好前景［1－2］。用自蔓延高温合成（SHS）技术可制备出含纳米纤维和相变粒子的亚共晶纳米相变复相陶瓷［3］，通过压痕实验发现该复相陶瓷具有较大的断裂韧性和较高的塑性形变行为［4］。其组织结构以含纳米纤维的棒状共晶团为基体，并在复合共晶体周围分布有少量的可产生相变的二相粒子，这种材料优良的综合性能在工程实际中具有巨大的发展潜力和广阔的应用前景。为了使其广泛应用，必须进一步开展更加深入系统的基础理论研究工作，特别是细观力学行为研究。目前，一些学者对这种复合材料的刚度和裂纹相变增韧已进行了较深入的研究［5－8］，如何建立复合材料的强度同纳米纤维的含量、长径比等细观结构参数之间的关系，并进而正确预报复合材料的强度是一个困难的问题。纤维共晶结构复合材料类似于方位随机短纤维复合材料，本文依据短纤维复合材料的强度分析，根据剪滞法［9－10］建立了棒状共晶团的细观强度模型，考虑棒状共晶团方位的随机性和长径比的分布规律，得到了复合材料的外载拉伸应力与复合共晶体表面剪应力、棒状共晶团的含量、共晶团长径比的关系，进而得到了以棒状共晶团为集体的复合材料的强度与共晶团界面极限剪应力之间的理论表达式。

1 棒状共晶团细观强度模型

首先研究纤维状复合共晶体中的应力分布。取出一截面为正方形（边长为R）的长方体特征单元体，沿中心轴含有一根半径为r0，长为2L的棒状共晶团，如图1所示。

图1 棒状共晶团单元示意图

设共晶体轴向应力为σn，考虑长为dx的微元，根据剪滞法假设，得到平衡方程为［10］

或者写成

式中，τe为沿纳米纤维界面的剪应力。

如果进一步假设共晶团在外力作用下均发生弹性变形，界面间没有发生滑移，则在纤维沿x向的应变等于基体的外加应变。令u（x，r）为沿x向在半径为r处基体的位移，τ（x，r）为相应点沿x向的剪应力。由于对称性，u（x，r）及τ（x，r）不随相对于纳米纤维中心轴的环向角度变化，但它们是半径r的函数。作为平衡条件，纳米纤维界面的剪应力应等于任一环向层r处的剪应力

根据胡克定律，可以得到

将式（3）代入式（2）中，可以得到

对式（4）积分，则

可以得到

其中，uR及un分别为基体和共晶团的轴向位移，（R/r0）值与纳米纤维在基体中排布的微观结构有关，它们的选择将确保共晶团的体积分数满足一定的目标。若共晶团排布呈四方形结构，则共晶团的体积分数可以认为等于共晶团的面积分数，即f＝πr/R2，因此有

式中，f为共晶团的体积分数。

将式（7）代入式（6），然后一并代入式（1）中，可以得到

利用胡克定律，可以建立如下关系：

引入量纲一量n，表达式为

则式（10）变为

方程式（12）的解为

纤维受力情况必然关于中心对称，则C1＝C2，即σn＝Enε0＋Dch（nx/r0），其中D＝2C1共晶团端点处不承担轴向载荷，由此可以得到

式中，s为纳米纤维的长径比，s＝L/r0。

这时，共晶团中轴向应力分布由下式决定：

将式（15）代入式（1）中，可以求得共晶团界面剪应力沿轴向分布为

考虑到共晶团未脱粘时其最大剪切应力不大于界面剪切强度，式（16）修改为

式中，τmu为共晶团界面结合剪应力。

当外载应力σ＝1000MPa、s＝3时，纤维剪应力沿纤维方向的分布情况如图2所示。

图2 共晶团界面剪应力沿轴向的分布

在此我们定义共晶团达到最大剪应力的长度占共晶团整个长度的比值为β，如图2所示，当x/r0＝2.36时界面剪应力达到最大界面剪应力，则此时β＝（3－2.36）/3＝0.2133。

2 含棒状共晶团陶瓷的细观强度模型

含棒状共晶团陶瓷复合材料基体由方位是随机分布的棒状共晶团组成，陶瓷复合材料的破坏与纤维的长度密切相关。如图3所示，在方位随机的某纤维共晶体周围取一无限大体。纤维共晶体为横观各向同性体，周围介质具有复合材料的平均性质，为各向同性体［5］。无限大体受远场应力σ作用，在共晶体处取一应力单元体，容易求出纤维共晶体轴向的外加应变为

式中，E11为纤维共晶体的纵向弹性模量；ν12为纤维共晶体的纵向泊松比，由文献［5］中的公式可以计算出来。

结合式（17）、式（6），有

经测定棒状共晶团材料所占的体积分数约为60%，即f＝0.60。陶瓷复合材料的破坏与纤维的长度密切相关，故我们观测了棒状共晶团的长径比，长径比在3左右的棒状共晶团较为集中，且长径比在1.5～4.5的棒状共晶团占90%左右，故我们假设棒状共晶体服从期望为μs＝3，方差为＝0.9的正态分布，其密度函数为

图3 棒状共晶团的随机方位

随着纤维与基体间界面达到最大剪应力的面积的不断增加，纤维破坏的可能越来越大，我们认为，此时对应的外部载荷即为材料的拉伸破坏强度。

实验表明［3］，复合材料中的裂纹总是在纤维共晶体尖端萌生，然后裂纹绕过周围的纤维共晶体而导致复合材料破坏。当共晶团表面的剪应力大于界面结合的极限应力时，即τmu＝130MPa时，复合材料界面剪应力不再增大，当加权平均的β超过材料的许用值［β］时，材料发生剪切破坏。［β］的取值由材料自身的性质决定，可以通过试验确定。

由相互作用直推法［11］和四相模型法［12］可得到材料的弹性常数，计算中需要的材料常数如下：En＝ 221.3GPa，E11＝ 227.3GPa，Gm＝138.46GPa。

我们在MATLAB中通过编程实现计算，计算程序如下：

设复合陶瓷的强度为σc，则［β］和σc的关系如图4所示。对于文献［4］中的材料，经试验测定［β］＝0.2，则由图4可以得到材料的强度为1220MPa，与文献［4］中的1256MPa基本相符，误差仅为2.87%。

图4 复合陶瓷的［β］值与强度σc的关系

3 结论

（1）在研究过程中同时考虑了棒状共晶团方位的随机分布问题和共晶团长径比的概率分布问题，本文将共晶团长径比按正态分布进行计算。对于不同工艺制备出来的材料，其长径比必然有所差异，可以根据材料的实际情况确定具体材料的长径比概率分布函数。本文将概率分布理论引入纤维长径比，进而影响材料强度的思想对具有相似结构的其他复合材料具有借鉴意义。

（2）本文定义达到最大界面剪应力的共晶团长度占共晶团整个长度的比值为β，当加权平均β值大于［β］值时，材料发生破坏。［β］值由材料决定，可以通过试验确定。

（3）针对文献［4］中的材料，确定材料参数［β］＝0.2，利用本文建立的模型进行计算，结果与试验数据误差仅为2.87%，得到了较为满意的结果。

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