扭面体工程量计算公式的探讨

谢宇

（新疆水利水电勘测设计研究院 新疆乌鲁木齐830000）

工程量的计算是工程项目中一项十分重要而又十分繁琐的工作，探求一种实用、过程快捷、计算精度满足工程需求的计算方法就成为工程人员一直探索的夙愿。扭面体是水利工程中常见的一种渐变面体，因为扭面是不可展开的曲面，其体积用一般方法计算较为困难。通常设计人员计算扭面的工程量，大都采用面积平均法，即求出扭面体进出口两端断面面积后进行平均，最后乘以扭面长度。平均方法由于计算人员选择断面不一样，使最终工程量的计算结果不一致。目前比较精确的方法就是采用微段体积累计法[1]，即沿图1中x轴方向把L分成n段长为ΔL（一般ΔL选取0.2 m）的四棱柱体，然后用面积平均法计算各段体积，最终累计求得扭面体体积，微段体积累计法精度很高，但是计算繁琐，计算时容易出错。鉴于此，本文从数学角度出发，试图推导出扭面体的计算公式，直接利用扭面体主要尺寸参数就能准确计算扭面体工程量。

1 扭面体的定义

如图1所示，扭面[2,3]可分为内扭面和外扭面，内扭面一般为过水面（图1中ABCD曲面），外扭面通常为挡土面（图1中EFGH曲面）。根据图1可知，扭面体是由内扭面、外扭面、顶面、底面、进口断面及出口断面组成的立体图形。

为研究的方便，假设沿x方向扭面断面面积沿程变化，为了使推导体积计算公式具有普遍性和适用性，本文中研究的扭面体两端断面是相互平行的，即图1中平面ADHE与平面BCGF相互平行，但顶面AEFB与底面DHGC不一定平行。

图1 扭面体示意图

2 数学公式的推导

2.1 扭面体基本参数

根据图1所示提取推导公式的主要参数，将图1中的扭面体的进出口断面提取出来如图2所示。

图2 扭面体进出口断面图

通过图1中与图2得到扭面体沿x轴方向任意断面图，如图3所示。

图3 扭面体任意断面图

根据图3可以得到任意断面面积：

式中：Ai为扭面体第i处断面面积，m2；bi为扭面体第i处断面上顶宽度，m；bj为扭面体第i处断面底部宽度，m；Hi为扭面体第i处断面高，m。

通过图1可以认为扭面体yoz轴断面是由进口处断面沿x轴方向渐变为出口处断面，但是渐变过程函数未知。在图1中可以看出构成扭面体yoz轴断面的四条棱线都是直线（直线AB、DC、EF及HG），因此可知，各个断面的上顶宽度bi为扭面段进口断面上顶宽度b1与出口断面上顶宽度b3的线性函数，底部宽度bj为扭面段进口断面底部宽度b2与出口断面底部宽度b4的线性函数。通过图1至图3可得到各个参数之间的线性关系。

式中：H1为扭面体进口断面高，m；H2为扭面体出口断面高，m；b1为扭面体进口断面上顶宽度，m；b2为扭面体进口断面底部宽度，m；b3为扭面体出口断面上顶宽度，m；b4为扭面体出口断面底部宽度，m；L为扭面体沿x轴方向长度，m；其他符号意义同上。

2.2 扭面数学公式的推导

将公式（2）至（4）代入式（1）中，整理得：

式中积分区域为线区域，是0≤x≤l由，将式代入式（6），整理得到：

式中：V为扭面体的体积，m3；其他字母意义同上一样。

如果扭面体进出口高度相等时，即H1=H2=H，则扭面体体积公式为：

式中各个字母意义同上。

式（7）就是论文推导得到的结果。

2.3 算例

某渠系工程中一浆砌石扭面体，扭面体各个参数如下：L=3 m，H1=3 m，H2=3 m，b1=b2=b3=0.42 m，b4=1.42 m。试计算该扭面体的工程量。

解：将算例中各个数据代入式（7）中，得到扭面体体积为V=5.46 m3；通过VB程序对该扭面体进行数值计算得到该扭面体实际体积为Vs=5.40 m3。数值计算的详细过程在本文中就不一一赘述。

根据上述数据，得到推导公式在该算例中的计算误差为δ=（5.46-5.4）/5.4=1.11%，这样的计算误差在水利工程中统计工程量时完全满足工程要求。

3 结论

本文通过对扭面体各个断面之间关系为线性关系的假定，并通过微积分手段推导出扭面体体积直接计算公式。数学公式的形式比较简单，计算精度也可满足工程量计算的要求，在进行扭面体工程量计算中可以进行应用和推广。但是，本文在推导过程还存在一些不足，需要进一步进行讨论与研究：（1）在假设中对扭面体各个断面之间的关系只是简单进行线性假定，这与实际不符，有待进一步验证各个断面之间的关系。（2）本文在推导公式未考虑扭面体内外扭面的边坡比m对扭面体体积计算的影响。是否有影响以及影响有多大需要进一步探索。（3）本文对计算公式的计算精度采用一个算例进行说明，只是具有一定的代表性。不能提供计算公式的精度范围，今后仍需要进一步探求。

［1］王铭,宋天峰,罗阳军.平均断面法计算渠道土方量的本质缺陷及改进［J］.西北农林科技大学学报(自然科学版),2004,32(9)∶118～122.

［2］李居坤,李德信,房世勤等.扭面与扭面施工技术分析研究［J］.灌溉排水学报,2003，22(3)∶73-76.

［3］赵然杭,张公升.扭面的数学模型与计算机辅助设计［J］.山东工业大学学报,2000,30(4)∶398-400.

［4］李玉虎，扭面体体积计算研究［J］.中国农村水利水电，2005（02）：89-91.