永磁球形电机定子绕组的永磁体模型及磁场分析

李 斌，刘 超，李洪凤，李桂丹

(天津大学电气与自动化工程学院，天津300072)

传统的多自由度运动系统利用多台电机驱动，存在体积大、有齿轮间隙和机械奇点等问题．球形电机可以实现转子 3个自由度的运动，在机器人、纳米工作平台等高精度控制系统中具有广泛的应用前景，而永磁球形电机还具有体积较小、转矩密度较高等特点，受到国内外学者的极大关注[1-3]．

在永磁球形电机中，定子绕组一般采用圆柱形多层空心线圈，可以利用洛伦兹力法进行磁力分析，进而获得电机的转矩特性[4-5]．然而，这需要对电流密度和磁通密度的矢量积在整个定子绕组体内进行体积分运算．和洛伦兹力法相比，张量法只需要进行面积分计算，计算量较小且结果较为准确[6-8]．由于永磁球形电机的定子绕组无铁心，磁路不饱和，空间磁场是转子永磁磁极和定子绕组产生磁场的叠加，因此在张量法中，定子绕组产生的磁场不能忽略．

为了获得定子绕组磁场的空间分布，可以直接利用比奥-萨法尔定理[9]，这种方法同样需要进行多重积分运算，计算量较大．文献[10]将多层线圈等效为单层线圈以提高分析速度，这种方法在定子绕组层数较多时误差较大．本文在永磁体电流模型基础上，将定子绕组等效为圆柱形永磁体，间接获得定子绕组的磁场．这种方法的关键在于提高永磁体磁场分析的快速性和准确性．

现有的磁场分析方法主要包括解析法[11]、有限元法[12]．与它们相比，等效磁网络(magnetic equivalent circuit，MEC)法具有较高的分析精度、较小的计算负荷，逐渐成为电机分析和设计的有利工具[13-14]．笔者在多层绕组的等效永磁体模型基础上，根据磁场分布特点，将磁路进行了简化，将不同磁场边界条件表达为磁阻单元对应节点或支路的状态，最终建立了永磁球形电机定子绕组的 MEC模型，再利用平均磁能法求得了绕组磁通密度在空间的分布．通过与有限元方法对比，证明利用 MEC法具有较高的计算精度．

1 永磁球形电机结构及运行原理

图 1为永磁球形电机结构示意．在球形转子沿赤道两侧均匀粘贴永磁体，永磁体内侧为转子铁轭.每块永磁体为球面锥体结构，永磁体采用平行充磁方式，充磁方向为永磁体中心的法线方向，NS极交替排列．三层定子绕组沿不同纬度固定在定子上，可独立控制每个绕组的通断电．当同一纬度的绕组通电时，在电磁转矩的作用下转子球绕轴作自转运动，当同一经度的绕组通电时，转子作俯仰和偏航运动．因此通过改变定子绕组的通电策略，可以实现电机的 3自由度运动．

图1 永磁球形电机结构示意Fig.1 Structure of PM spherical motor

2 定子绕组的永磁体模型

永磁球形电机的定子绕组采用空心圆柱结构，其剖面如图 2(a)所示，磁场空间分布如图 2(b)所示．定子绕组的电流密度可表示为

式中：ai和 ao分别为绕组内、外径；l为绕组高度；NI为绕组的安匝数．

图2 定子绕组Fig.2 Stator coil

另一方面，永磁体磁化后的特性满足

式中：B为磁通密度；H 为磁感应强度；Mr为剩余磁化强度；μ0为真空磁导率；μr为永磁体的相对磁导率.

对式(3)左、右两端取旋度，并考虑到永磁体内无宏观电流，则

根据麦克斯韦方程，式(4)右端具有电流密度的量纲，可用体电流密度来表示，即

式(5)建立了永磁体的体电流模型，用电流描述永磁体的励磁作用[15]．显然，若知道体电流分布，也可获得等效的永磁体．

为了保证等效永磁体产生的磁场空间分布与定子绕组一致，等效永磁体仍为圆柱形，其外径和高度与绕组相同，沿 z轴方向磁化．磁化强度可表示为坐标r的函数，其旋度可表示为

根据式(1)～式(6)，可得等效永磁体的磁化强度

由式(1)可得永磁体矫顽力 Hc和剩余磁化强度Mr,z的关系为

3 定子磁场的等效磁网络法分析

3.1 等效磁网络模型

由于定子绕组的磁场在空间呈对称分布，则过等效永磁体中轴线作一切片，整个空间的磁场可由此切片的磁场扩展得到．

设切片角度为αe，在柱坐标系下沿z方向和r方向进行网格剖分，则每一磁阻单元可用参数 ri,in、ri,out、li和 αe表示，如图 3(a)所示，其三维等效磁阻网络如图 3(b)所示．其中，3个方向的支路分别与磁场的3个分量Φr、Φz和Φθ对应，u表示标量磁势，下标为各节点标号，其中e为单元的中心节点，R和F分别表示磁阻、磁动势，其下标表示相应支路．每个磁阻单元通过边界上的节点与邻单元相互连接，构成整个分析模型的等效磁网络．

图3 三维磁阻单元Fig.3 3D reluctance element

将磁网络与电网络相比较，可以得到不同磁场边界处等效磁网络中各节点或支路的状态：

(1) 由于磁场中没有θ方向的分量，则磁阻网络中相应的支路应为断路；

(2) 在磁场的中性面上(绕组高度一半处的 r-θ切面)，磁势处处相等，因此中性面上的单元节点短路；

(3) 在轴线处，磁场满足平行边界条件，Br＝0，则边界处的磁阻单元中相应的支路为断路；

(4) 空气域的最外层，磁场满足平行边界条件，Br＝Bz＝0，相应支路断路．

根据以上分析，可以建立1/2个等效永磁体切片及相应空气域的磁网络，如图 4所示，磁阻单元及磁网络均退化为二维结构．

图4 磁网络模型Fig.4 MEC model

图 4中，深色部分为矫顽力为恒定值的永磁部分，浅色部分为矫顽力变化的永磁部分，其余部分为空气域．每个单元的边界如虚线所示，通过边界上节点相互连接，实心圆点为单元节点，实心三角形为退化的单元节点，其与中心节点间的支路为断路，实心正方形为相互短接的单元节点，其磁势设为 0．在距离永磁体近的地方采用精细剖分，远的地方则剖分粗疏．

3.2 磁网络参数计算

永磁体和空气域采用相同的剖分方法，其等效磁网络的参数计算方法相同，差别仅在于材料参数的不同．

3.2.1 磁阻

单元的磁阻取决于单元的几何形状、磁导率及磁场的方向．图 5(a)描述了磁通分量Φr穿过磁阻单元的情况，磁阻单元可以看成厚度为 dr的薄片串联而成，因此可表示为

式中：li为磁阻单元的高；μ 为单元的磁导率．在空气域中μ＝μ0，μ0为空气的磁导率；在永磁体中μ＝μ0,μr，μr为永磁体的相对磁导率．

图 5(b)描述了磁通分量Φz穿过磁阻单元的情况，磁阻单元可以看成厚度为dz的薄片串联而成，可表示为

式中 zi,1和 zi,2均表示磁阻单元在 z方向的坐标，满足zi,2−zi,1=li．

图5 单元内的磁通Fig.5 Fluxes in element

3.2.2 永磁体磁动势

永磁体部分是有源网络．对于永磁体的每一个剖分单元，其等效磁动势源可表示为

如图3(b)所示的磁阻网络单元中，z方向的2个磁动势源可表示为

3.3 磁通密度求解

图3(b)中所示的第i个磁阻单元中，每一支路的磁通与节点标量磁势、磁动势源和支路磁阻的关系可表示为

式中 G为磁导纳．

根据磁通连续条件，流进节点的磁通与流出节点磁通相等，即

对于所有的节点，由式(13)和式(14)可得系统矩阵，即

式中：G为磁导纳矩阵；U为节点标量磁势矩阵；F为驱动矩阵．

假设磁场在磁阻单元内部保持恒定，磁阻单元储存的磁能可表示为3个磁场分量的能量和．空气的磁导率为常数，磁阻单元中每个分量的磁能[13]可表示为

式中：Vi为剖分单元的体积；Bi,j为剖分单元的磁通密度．

如图 3(b)所示，每个磁场分量包括中心节点两侧的 2个支路，磁能和支路磁通、磁阻的关系还可表示为

式中 Φi,j,1和Φi,j,2为同一个方向上的磁场分量在中心节点两侧的两个支路上磁通量．

由式(16)和式(17)可得节点的磁通密度为

由式(18)可知，由单元磁能得到的是磁通密度的幅值，根据磁通的极性可以进一步判断出磁通密度的极性．

4 定子磁场分布研究

多层定子绕组的参数如表 1所示．利用等效永磁体模型及 MEC法可以求得空间各点的磁通密度．为了验证结果的正确性，同时利用有限元方法研究了磁场分布．

表1 定子绕组参数Tab.1 Parameters of stator coil

图 6为邻近绕组处的磁通密度分布．图 6(a)为z＝10.5,mm处，磁通密度B沿半径r的变化规律．图6(b)为r＝5.25,mm处，磁通密度B沿高度H的变化规律．

图 7描述了远离绕组处的磁通密度分布．图7(a)为 z＝20.5,mm处，磁通密度B沿半径 r的变化规律；图7(b)为r＝10.25,mm处，磁通密度B沿高度H的变化规律．

图6 邻近定子绕组处的磁通密度分布Fig.6 Magnetic flux density distribution near stator coil

图7 远离定子绕组处的磁通密度分布Fig.7 Magnetic flux density distribution far from stator coil

另外，图6和图7中给出了磁场的有限元分析结果．可以看出，利用等效永磁体和 MEC法获得的磁通密度空间分布和FEM法的计算结果具有非常好的一致性．其中，图6中Br、Bz相对误差分别为6.72%、3.55%和 5.81%、4.39%．图 7中 Br、Bz相对误差分别为6.72%、3.55%和6.07%、4.63%．

相对误差定义为

式中：BMEC和BFEM分别为MEC法与FEM所求的磁通密度；算子||x||为函数的1范数[16]．

从图6和图7中可以看出，定子绕组的远场和近场的磁场分布差异较大．磁场在空间的衰减较快，而且分布规律也不尽相同，远场时磁通密度的曲线相对更平滑．需要注意的是，在利用张量法分析转矩特性时，积分路径的选择对分析精度影响较大，应选择包围定子绕组的外层单元的中心节点形成的闭合面[8]．

5 结 语

本文提出一种间接分析 3自由度永磁球形电机定子绕组磁场的方法．根据永磁体的体电流模型，将多层定子绕组等效为磁化强度变化的圆柱形永磁体，将永磁体及相应空气域在柱坐标系下进行剖分，分析了不同磁场边界条件的表达形式，建立了二维等效磁网络模型，利用平均磁能法获得了磁场的空间分布．通过与有限元方法比较近场和远场的磁通密度，证明本文所提方法具有较好的精度．

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