Mathieu方程与束流冷却对同步运动的影响

罗晓华 何为

(1.重庆交通大学 图书馆，重庆 400074;2.重庆大学 电气工程学院，重庆 400044)

其中e是电子电荷，h是谐波数，V是加速电压，E是同步粒子能量，β=v/c是粒子无量纲速度。不失一般性，考虑φs=0的稳态 (stationary state)情形。当φs=0时，方程 (1)退化为

1944年，苏联物理学家维克斯勒 (次年，麦克米兰)发现，在高频电场中运动的带电粒子具有保持相位稳定的能力，并指出适当选择同步相位，即可实现非同步粒子的能量补偿。从此，加速器的能量上限实现了质的突破，质子能量从当初的107eV量级提升到当今的1013eV量级。遗憾的是束流能量和束流强度不能兼得。正是这对矛盾激励着人们不断对加速器技术进行探索，并取得了一个又一个的突破，储存环技术和束流冷却技术便是典型的例子。直到今天，加速器的束流动力学问题依然是人们关注的重要问题之一［1－14］。本文关心的正是束流冷却对同步运动的影响。值得注意的是，随着人们认识能力的不断提高，先后认识了束流动力学的线性、非线性和复杂性，而本文就试图利用Mathieu方程的稳定区和不稳定区 (禁带)来讨论系统的稳定性。为此，在经典力学框架内，把周期冷却的同步运动方程化为Mathieu方程，系统呈现出一系列稳定区和不稳定区;对可能存在的一阶不稳定区进行了讨论，用摄动法导出了它的边界曲线和禁带宽度，并讨论了禁带穿越和同步运动的稳定性，导出了束流冷却一次谐波振幅的临界值。

1 运动方程

束流冷却通常是在环形加速器 (比如同步加速器、储存环等)的一个或几个直线段上安装冷却器来实现的。当粒子通过冷却器时，用一束冷 (发射度小)的电子同它一道运动，并将整个离子束浸泡其中。如果选择电子的速度与离子速度相等，离子和电子在运动方向保持同步，同时它们之间还将通过“热”运动彼交换横向能量，使得比较热的离子束逐渐变冷。换句话说，由于束流冷却，离子的Betatron振荡将逐渐衰减，而同步振荡也将逐渐衰减。

在理想情况下，如果选择相位φ和动量分散系数δ为正则坐标，θ为独立变数，粒子同步运动方程可表示为［7，13－14］

其中e是电子电荷，h是谐波数，V是加速电压，E是同步粒子能量，β=v/c是粒子无量纲速度。不失一般性，考虑φs=0的稳态 (stationary state)情形。当φs=0时，方程 (1)退化为

设系统的冷却系数为μ(θ)，对于动量分散为δ的粒子束，经过“长度”为Δθ的冷却后，衰减量Δδ可表示为 Δδ= －μ(θ)δΔθ。于是，正则方程 (2)可化为［7］

或

其中

其中ε是小参数，仅表示伴随项是O(ε)级小量。将μ(θ)按Fourier级数展开

其中Δθ是冷却器“长度”，而η0=Δθ/2π是冷却器的相对长度。令

方程 (5)可进一步化为

其中

式中略去了ε2项。这就是只关心弱冷却情况，而μ(θ)由式 (6)给出。将式 (6)和 (9)带入方程(8)，可得粒子同步运动方程

其中

是由于周期冷却产生的n次谐波振幅。方程 (10)是一般的Hill方程，它的系数包含了所有Fourier分量，这个系统将存在和共振与差共振。但是由于这些组合共振都比较弱，感兴趣的是整数共振或半整数共振。由式 (10)可得n次谐波激励的同步运动方程为

2 系统的稳定性

作变数变换

方程 (12)化为

其中参数

方程 (14)是一个标准的Mathieu方程。一次项的系数`是φ的周期函数。根据Flogue定理，方程 (14)的解具有如下性质

其中d是加速器格子周期，而T是粒子运动周期。粒子在周期中场运动时，它的能量将分裂成带。事实上，系统的稳定性与参数 (q，ε)的分布有关，在参数 (q，ε)平面上，系统出现了一系列稳定和不稳定区。当→0时，如果q＞0，系统是稳定的;q＜0系统不稳定。不过，随着的增加，即使q＜0，系统也可能是稳定的。由于方程 (14)包含振动部分cos 2φ，在q＞0的右半平面内出现了一系列稳定区和不稳定区。当→0时，这些不稳定区退化为一点，且全都落在ε=0的横轴上，这些点由方程

给出，并分别称为一阶、二阶、三阶等不稳定区。对于一次谐波 (n=1)激励，由式 (15)，(16)可知，这些不稳定区对应于νs=1/2，1，3/2，…，共振。这就是说，由于束流冷却将激发出不同阶次的整数共振或半整数共振。图1给出了数值结果。一般说来，在参数 (q，ε)平面上，这种稳定和不稳定区有无限多个。对于具体情况只有一个或少数几个稳定区和不稳定区起作用。下面对一阶不稳定区(νs=1/2)做进一步分析。

图1 Mathieu方程的稳定与不稳定区 (阴影区域)

3 Mathieu方程的一阶不稳定区及其禁带宽度

利用摄动法［15－16］求解方程 (14)。注意到方程 (14)中的 (是一个小参数，可将x和q按它展开

将式 (17)和 (18)代入方程 (14)，比较 (的同次幂系数，可得逐次近似方程

方程 (19)的解可表示为

上式表明，当k为偶数时，x0是周期为π的周期函数，当k为奇数时，x0是周期为2π的周期函数。我们以k=1为例，求禁带的边界方程和相应的解。

将式 (22)代入方程 (20)，并令k=1，可得

消去方程中的久期项，要求

于是方程 (23)化为

联立求解方程 (24)和 (25)，可得

和

航空发动机装配过程数据能够映射为任务、物料、工艺、质量4个视图上的对应信息，分别回答了“由谁在何时来执行哪个任务”、“对哪些物料进行装配”、“如何装配”和“记录哪些质量信息”的问题，4个视图之间存在的逻辑关联关系如图2所示。

于是，方程 (26)的解可表示为

或

将式 (27)、(29)代入方程 (21)，可得二级近似方程

消去久期项，可得

精确到二次近似，一阶不稳定区的一条边界曲线和这条边界曲线上的解可表示为

同样，将式 (28)、(30)代入方程 (21)，并用类似的方法，可求得一阶不稳定区的另一条边界曲线和这条边界曲线上的解为

由式 (33)和 (35)，可求得一阶不稳定区的禁带宽度

4 系统的临界性质

注意到当谐波数n=1时，由式 (15)可知，同步运动的Betatron频率可表示为=q/4。微分该式，由式 (37)可将一阶不稳定区的禁带宽度表示为

再注意到粒子穿越禁带时振幅呈指数增长，设φ0(因而x0)是粒子进入禁带时的“初始”振幅，穿越禁带后的振幅φ(因而x)可表示为

其中θ是粒子在禁带中转过的角度 (或“停留”的时间)。当φ满足条件

时，系统处于临界状态，其中φu和π－φs是同步运动的两个不稳定点，φs是系统的同步相位 (在本文中φs=0)。换句话说，当离子穿越禁带，相位呈指数增长，如果相位的振幅φ＜φu和φ＜π－φs，系统是稳定的，否则系统不稳定。由式 (15)、(16)和 (38)可得束流冷却的一次谐波振幅临界值

或

其中ωs是同步粒子振荡频率，Tc是同步粒子穿越禁带的临界时间。当δ1＜δ1c系统是稳定的，否则系统不稳定。

5 结语

由于冷却效应，同步运动方程化为了参数激励的Matheiu方程，由于参数激励，系统出现了一系列稳定和不稳定区。这就是说，由于束流冷却，系统的同步运动将在νs=1/2，1，3/2，…，处出现共振。本文从系统的正则方程出发，在经典力学框架内和弱冷却近似下，把粒子的同步运动方程化为Mathieu方程，利用摄动法导出了一阶不稳定区 (νs=1/2)的边界曲线和禁带宽度。指出了由于冷却效应，当粒子穿越禁带后的相位φ=φ0+Δφ等于不稳定相位时，粒子处于临界状态，并由此导出了束流冷却的一次谐波激励振幅的临界值或。当 δ1＜ δ1c时，系统是稳定的，否则系统不稳定。

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