指挥与控制系统复杂网络形式化建模与分析

田旭光， 朱元昌， 邸彦强

(中国人民解放军军械工程学院光学与电子工程系，石家庄 050003)

0 引言

系统科学认为，系统结构是系统组成要素之间相互联系相互作用的形式［1］。系统结构可分为形式结构、空间结构和时间结构。要素间相互联系和相互作用必须通过交换信息来实现，形式结构便是对系统要素之间信息联系的抽象。由于现实中的复杂系统基本上都具有网络化的系统结构，因此复杂网络为研究复杂系统的结构提供了一种全新的视角。

信息化条件下的指挥与控制系统(以下简称C2系统)的系统结构表现为以物理通信网络为基础的各种非线性逻辑交互关系组成的网络结构。同时系统结构具有非线性、层次性以及自适应等复杂网络特征。因此，从复杂网络的角度研究其系统结构是目前的一个崭新的方向，并已取得了一定的研究成果［2-9］。但就如何以复杂网络的观点对C2系统结构进行形式化建模，仍是目前研究的空白。一些研究者在这方面进行了有益的尝试［10-11］，但缺乏一定的理论基础。本文以集合论和图论作为基础理论，重点对C2系统中的指挥与控制实体以及其逻辑关系进行了形式化描述，并建立了C2系统结构的复杂网络模型，并对建立的复杂网络模型统计特征进行了初步探讨和分析，期望为更进一步地以复杂网络理论研究C2系统提供借鉴。

1 C2系统实体及其关系的形式化描述

建立C2系统结构复杂网络形式化模型的基本思路为:将C2系统中的组成实体抽象为网络中的节点，而其交互关系抽象为边，因此模型的建立过程首先应涉及指挥与控制实体及其关系的分类、形式化描述、属性分析等过程，现分别予以讨论。

1.1 指挥与控制实体的分类及形式化描述

从以往的研究来看，对C2系统所包含实体的界定是比较模糊的。根据研究目的，C2系统可以是仅由决策者组成［12］，也有文献认为C2系统结构由作战实体、情报实体、网络、指挥控制实体［10］组成，也有研究者为体现C2系统与使命环境的交互性，同时把目标实体也包含在内［11］。根据本文研究内容，从功能的角度将指挥与控制实体分为感知实体、决策实体和执行实体。

感知实体(S)主要指具有情报获取功能的各类传感器，如:预警雷达、各种侦查设备，其功能为获取战场情报信息、作战效果评估信息等并把信息传递给决策实体，可描述为

式中:Cs为感知实体S的感知能力，可理解为其信息处理能力，以单位时间内向决策实体发送的信息量描述;分别表示与此感知实体相关联的决策实体集合和感知实体集合。

决策实体(D)代表了C2系统中各级的指挥与控制节点，这类节点具有根据感知实体获取的情报信息形成战场态势并根据态势制定决策的能力。并且决策实体通过指挥控制信息作用于执行实体，使之产生作战行为，可描述为

式中:CD为感知实体D的感知信息处理能力，以单位时间内所处理的信息量描述;分别为与此决策实体具有信息联系的决策实体集合、感知实体集合以及执行实体集合，决策实体是关联感知实体和执行实体的枢纽。

执行实体(E)是C2系统中指挥与控制实体决策命令的执行者，执行实体代表各种武器平台以及执行具体打击作战任务的作战分队等作战力量，可描述为

式中:CE为对执行实体E接受指挥与控制信息能力的描述，以单位时间内所接受并处理的信息量描述;从一个侧面反映了其作战能力;分别为与此执行实体相关联的决策实体集合和执行实体集合。

指挥与控制实体之间通过指挥与控制关系连接组成C2系统的网络结构，接下来对实体间的指挥与控制关系进行描述。

1.2 指挥与控制关系的分类及形式化描述

指挥与控制系统是一类基于信息的系统，其实体之间的关系为其信息联系的抽象。广义的指挥与控制关系是指C2系统中实体之间存在的各种信息关系。根据C2系统中的实体类型以及信息流分类，将指挥与控制关系分为:情报关系、指挥控制关系、执行关系、协作关系4类。

情报关系(RI)存在于感知实体和决策实体之间，是感知实体向决策实体提供的战场态势信息流的抽象，以符号表示。如:若感知实体S与决策实体D之间存在情报关系，即可描述为:。

情报关系表现为感知实体集与决策实体集之间的一种二元关系，依据集合论，可形式化描述为

式中:S*、D*分别表示感知实体集合和决策实体集合，S*×D*表示集合S*、D*的笛卡尔乘积。

RI具有反对称性，即，若∀S∀D(S∈S*∧D∈D*)，则有

RI的反对称性表明，情报关系为一种单向关系，即C2系统网络为有向网络。

指挥控制关系(RC)是指狭义的指挥控制关系，是指挥与控制系统中命令、反馈等信息流的抽象描述，存在于上级和下级决策实体之间，以符号表示，即决策实体Di和 Dj之间的指挥控制关系可描述为:

指挥控制关系为决策实体集内部的一种二元关系，可形式化描述为

RC具有对称性，即，若∀Di∀Dj(Di∈D*∧Dj∈D*)，则有

在式(7)中，若Di的级别比Dj低，表示Di对Dj的控制信息，反之则表示Di对Dj的状态反馈信息。一般而言，控制信息和反馈信息同时存在，因此在C2系统结构网络中，单纯由RC构成的网络也可看作无向网络。

同时RC具有传递性，即，若∀Di∀Dj∀Dk(Di∈D*∧Dj∈D*∧Dk∈D*)，则有

执行关系(RE)存在于决策实体和执行实体之间，是决策实体向执行实体提供的控制信息流的抽象，以符号表示。如若决策实体D与执行实体E之间存在执行关系，则可描述为。

执行关系表现为决策实体集D*与执行实体集E*之间的一种二元关系，可形式化描述为

同情报关系RI类似，RE也具有反对称性，即，若∀D∀E(D∈D*∧E∈E*)，则有

协作关系(Rr)广泛存在于感知实体、决策实体和执行实体之间。感知实体之间的协作关系表示信息交互和协同感知;决策实体之间的协作关系表示同级决策实体之间的联合决策;执行实体之间的协作关系表示执行之间的作战协同。因此协作关系是一种双向的关系，以符号描述。协作关系可形式化描述为

协作关系具有对称性和传递性，例如对于决策实体间的协作关系有，若∀Di∀Dj(Di∈D*∧Dj∈D*)，则有

协作关系同时具有对称性，若

∀Di∀Dj∀Dk(Di∈D*∧Dj∈D*∧Dk∈D*)，则有

C2系统中的关系和实体共同组成C2系统结构的复杂网络模型，接下来对C2系统结构的复杂网络模型进行描述。

2 C2系统结构复杂网络形式化模型

经过以上对C2系统中的实体及其关系的分析，C2系统的复杂网络模型最终可形式化描述为

式中:Gc2表示C2系统结构的复杂网络模型;非空有限节点集Vc2代表对指挥与控制实体的抽象;非空有限边集Ec2代表指挥与控制实体之间的关系的抽象;映射ψc2则将任意一对指挥与控制实体映射到指挥与控制关系。根据对节点之间关系的分析可知，C2系统网络是一种有向网络，其方向性由指挥与控制关系的反对称性决定。考虑到信息在网络中边的传输延迟，将Gc2设定为加权网络，并为每条边分配一个权值w。

对于信息的传输延迟，采用权值相异性原则，即权值越大，信息传输延迟越长。

总之，C2系统结构复杂网络模型可描述为:网络节点由感知实体S，决策实体D和执行实体E组成，而边由3种实体之间的情报关系RI，指挥控制关系RC，执行关系RE和协作关系Rr组成，如图1所示。

图1 C2系统结构复杂网络元级模型Fig.1 Metal-model for C2system complex network model

图1中的T表示对作战目标的抽象，本文没有把T作为C2系统的组成部分，因此对于T和S以及E之间的关系没有定义。图1只是抽象地描述了C2系统结构的一般组成，可看作一种元级结构，实际系统可由多个以上结构组成。C2系统网络由3种网络相互连接组成:感知网络Gs、指挥控制网络Gc和执行网络Ge。

下面针对每种网络给出其形式化模型。

感知网络形式化模型:Gs=(Vs，Es，ψs)。其中，Vs=D*∪S*即感知网络的节点由决策实体和感知实体组成，并满足以下条件

1)若 vi∈D*，vj∈S*，则 ψs(vi，vj)=RI。

式(17)描述了感知网络中存在的情报关系，情报关系将感知实体和决策实体联系起来，并由感知实体指向决策实体。

2)若 vi∈S*，vj∈S*，则 ψs(vi，vj)=RSr。

式(17)则描述感知网络中存在的协作关系，协作关系表现为感知实体之间的信息共享或协作感知。

对感知网络的形式化模型表明，感知网络包含两种实体——感知实体和决策实体;两种关系——协作关系和情报关系。

指挥控制网络形式化模型为Gc=(Vc，Ec，ψc)。其中，Vc=D*即指挥控制网络的节点由决策实体组成，并满足以下条件

并有 ψc(vi，vj)=Rc或 ψc(vi，vj)=RDr。

式(18)表明了指挥控制网络由指挥与控制关系以及决策实体，或协作关系以及决策实体相关联而成。

执行网络形式化模型为 GE=(VE，EE，ψE)，其中，VE=D*∪E*即执行网络的节点由决策实体和执行实体组成，并满足以下条件

1)若 vi∈D*，vj∈E*，则 ψE(vi，vj)=RE。

式(19)描述了执行网络中存在的执行关系，执行关系将执行实体和决策实体联系起来，并由决策实体指向执行实体。

2)若 vi∈E*，vj∈E*，则 ψE(vi，vj)=。

式(19)描述执行网络中存在的协作关系，协作关系表现为执行实体之间的作战协同。

执行网络的形式化模型表明，执行网络包含两种实体——执行实体和决策实体;两种关系——协作关系和执行关系。

3 C2系统结构的复杂网络特征分析

3.1 C2系统的复杂网络拓扑结构

为了进一步形象地描述C2系统地复杂网络模型，下面以某型C3I防空C2系统部分组成为例，对该系统的实体组成，以及蕴涵的指挥与控制关系进行抽象，建立其复杂网络模型描述如图2所示。

图2 某型C2系统部分组成的复杂网络模型Fig.2 A special C2complex network model

在图2所描述的C2网络中，系统中的决策实体D(各级指挥与控制机构)，感知实体S(防空雷达，情报观测站)以及执行实体E(高炮，防空导弹)组成网络的节点，而感知实体S到决策实体D的探测信息流(情报信息)抽象为情报关系RI;决策实体D到执行实体E的指控信息流(命令信息、通报信息)抽象为执行关系RE;而中心感知实体D到其下级感知实体D的指控信息流(命令信息、通报信息)抽象为指控关系RC;决策实体D之间以及感知实体S之间在任务过程中的协同组成协作关系Rr。并且整个网络结构由感知实体组成的战场感知网络Gs，决策实体组成的指挥与控制网络Gs以及执行实体组成的火力打击网络Ge3个子网络组成。

以上定性地描述了C2网络的抽象建立过程，接下来将以复杂网络的统计参数对C2网络的特征进行定量描述。鉴于小规模的网络不能很好地表现其统计特征，建立了更大规模的网络拓扑结构，为了对比分析，一并建立了具有相同网络规模的传统平台中心战C2网络结构，分别如图3中a、b所示。

图3 C2系统的复杂网络拓扑结构Fig.3 Complex network topology for C2systems

两种网络的基本参数如表1所示。

表1 C2系统的复杂网络拓扑结构基本参数Table 1 Basic parameters for C2networks

3.2 C2系统的复杂网络统计特征［13］分析

3.2.1 度分布特征

图3中所描述的两种网络的度分布特征见图4。

图4 C2系统的复杂网络度分布Fig.4 Degree distribution of C2networks

由图4可以看出，图3b网络中大部分节点的度都很小，有很大一部分的节点的度都分布于1～5之间，这类节点基本占总节点数的42%左右。而少部分节点却拥有大的度连接，图3b中最核心的5个节点的度竟达到了15。这反映了在实际系统中，决策实体节点总是处于系统的中心，而最高级别的决策实体总是拥有最多的指挥和感知的优势，这种度分布特征与无标度网络特征比较相似，可以认为信息化条件下C2系统结构具有无标度网络的性质。而图3a所描述的传统C2系统网络的这种特征(小图)则表现得不是很明显，它的度基本分布于几个固定的点上。

3.2.2 簇系数以及平均最短路径长度

两种网络的簇系数以及平均最短路径长度见表2。

表2 簇系数以及平均最短路径长度Table 2 Coefficient and average shortest path for C2networks

从表2的数据可以看出，“信息网络结构”的平均最短路径长度较短，这是因为在此网络结构中，同级决策实体以及感知实体之间的协作关系，从而使得信息传输的路径变短，并且引起了簇系数变大，簇系数描述了复杂网络中节点的集聚性，反映到C2系统中，描述了各种指挥与控制实体之间的交互性的提高。

4 总结与讨论

本文重点研究了C2系统结构的复杂网络形式化模型建立方法。基于图论和集合论对C2系统中的实体以及相互的逻辑关系进行了分类和形式化描述，从而建立了C2系统结构的复杂网络模型。并以某具体系统为例，简要分析了其复杂网络特征。本文对以复杂网络对C2系统结构进行建模和分析提供了一种可行的研究途径。基于复杂网络模型，可以从系统层面对C2系统的拓扑结构可靠性、拓扑结构的演化形成机制［10］，抗毁重构策略等方面进行研究，为信息化条件下的C2系统研究与评估开辟了一个新的方向。

［1］杨家本.系统工程概论［M］.武汉:武汉理工大学出版社，2002.

［2］朱涛，常国岑，施笑安.复杂网络理论在指挥控制中的应用研究［C］//2006全国复杂网络学术会议，2006:132-135.

［3］朱涛，常国岑，施笑安.基于复杂网络的指挥信息系统拓扑模型研究［J］.系统仿真学报，2008，20(6):1571-1578.

［4］朱涛，常国岑，施笑安.基于复杂网络的指挥控制信息协同模型研究［J］.系统仿真学报，2008，20(22):6058-6065.

［5］HUANG Songhua,WANG Heng,DING Feng,et al.On evolution of C2network topology［C］//15th Internatinal Command and Control Research,2009:82-87.

［6］汪海.基于复杂网络理论的指挥控制组织分析研究［D］.长沙:国防科技大学，2007.

［7］DEKKER A H.Applying social network analysis concepts to military C4ISR architectures［J］.Connections，2001，24(3):93-103.

［8］DEKKER A H.C4ISR architectures，social network analysis and the FINC methodology:An experiment in military organisational structure，DSTO report［R］.DSTO-GD-0313,2002.

［9］BáRBARA M,MARCO M.Know the network，knit the network:Applying SNA to N2C2maturity model experiment［C］//15th ICCRTS，2009:342-347.

［10］陶九阳，张东戈，孟辉.C2关系网络演化生成特性分析［J］.指挥控制与仿真，2009，31(4):20-25.

［11］周道安，张东戈，常树春.C2组织指挥控制关系的形式化描述［J］.指挥控制与仿真，2008，30(4):13-19.

［12］HANDLEY H A H,LEVIS A H.A model to evaluate the effect of orgnizational adaption［J］.Computational ＆Mathematical Orgnization Theory，2001(7):5-44.

［13］何大韧，刘宗华，汪秉宏.复杂系统与复杂网络［M］.北京:科学教育出版社，2009.