管状曲面在曲线论中的应用

苏农,刘玲

(北京信息科技大学数学系,北京 100192)

管状曲面在曲线论中的应用

苏农,刘玲

(北京信息科技大学数学系,北京 100192)

研究了围绕曲线的管状曲面上的曲率线,渐近线与测地线,给出它们的方程,揭示了这些曲线与Bertrand曲线或Mannheim曲线之间的关系,采用新的方法给出一条曲线是Bertrand曲线或Mannheim曲线的充要条件的另一种证明以及Mannheim侣线的曲率与挠率之间的关系.

管状曲面;渐近线;测地线;Bertrand曲线;Mannheim曲线

1 引言

Bertrand曲线和Mannheim曲线是两类经典的曲线,很多微分几何教材中有比较详尽的描述[1],文献[2]给出了Bertrand曲线和Mannheim曲线推广的一个充要条件.另外,文献[3]利用主法线曲面的性质阐述了这两类曲线.本文将从围绕曲线的管状曲面的角度进行描述.

根据定义,显然Γ的平行曲线,Bertrand侣线(若存在)以及Mannheim侣线(若存在)均在围绕Γ的某一管状曲面上.

引理 1.1[4]过Γ的管状邻域中一给定点p,存在唯一的平行曲线.

2 平行曲线与管状曲面上的正交曲率线网

3 Bertrand曲线与Mannheim曲线

4 Mannheim侣线

[1]吴大任.微分几何讲义[M].北京:高等教育出版社,1959.

[2]王卫东,罗斌.关于 Bertrand曲线和 Mannheim 曲线推广的一个充要条件 [J].纯粹数学与应用数学, 2004,20(1):24-28.

[3]袁媛,刘会立.曲线的主法线曲面[J].东北大学学报:自然科学版,2007,28(1):145-148.

[4]苏农.欧式空间中的平行曲线[J].沈阳师范大学学报:自然科学版,2009,27(1):24-27.

[5]陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006.

Applications of tubular surfaces in theory of curves

Su Nong,Liu Ling
(Department of Mathematics,Beijing Information Science and Technology University,Beijing 100192,China)

This paper studies the lines of curvature,asymptotic curves and geodesics on a tubular surface around a smooth curve,provides their equations and shows the relations between these lines and Bertrand-curve or a Mannheim-curve.Another proofs of the sufficient and necessary conditions of a curve to be a Bertrand-curve or a Mannheim-curve are given.As a further result,the relation of the curvature and the torsion of a Mannheim mate is also obtained.

tubular surface,asymptote,geodesic,bertrand-curve,mannheim-curve

O176

A

1008-5513(2012)01-0067-06

2011-04-16.

北京市教委科研计划面上项目(SQKM201211232017);北京信息科技大学科研基金(5026010949).

苏农(1966-),硕士,讲师,研究方向：微分几何.

2010 MSC:53A04,53A05