基于Daubechies小波分析的单频大采样率GPS周跳探测

蒋俊华 ，蒋代杨，汪闽，汪伟

(1.天津市测绘院，天津 300381;2.天津市勘察院，天津 300191)

1 引言

对于单频大采样率载波相位数据，很多因素造成的误差足以让小周跳湮没在噪声中难以探测。并且，在很多情况下，噪声也不是高斯白噪声。基于这种考虑，结合周跳产生的规律，用星间－历元间的两次差分和小波多尺度分析的方法，来探测周跳，并利用小波变换的最细的两个尺度层形成空间屏蔽滤波器，对小波探测后的数据进行降噪，使得周跳点得以显露。大量的实验结果表明:对大采样率的单频载波相位数据，用这种方法可以准确的探测到2周以上的周跳，对完全湮没在噪声中的一周左右的小周跳，该方法不具备优势。但通过设置软阈值利用小波变换对信号做平滑降噪处理，从而认为近似处理掉了一周左右的小周跳。

2 数学方法与模型

2.1 小波基础

如果:φ(t)∈L2(R)，且满足

通过该变换，可以把时域信号f(x)展开成若干描述子频带的时域分量之和［1］。对小波函数，用二进的方法对其离散化，可以得到:

用该小波基采用Mallat快速算法对等采样率的离散载波相位数据进行离散小波变换。小波函数采用正交的、具有近似对称性的、紧支集长度为2的 Daubechies小波。采用该小波的原因是:连续历元二次差前有周跳的数据点是关于突变中心奇对称的，选择具有近似中心奇对称的db2小波，经小波变换后，可以得到局部范围中心偶对称的极值点，根据该极值点，可以检测到周跳所在。

2.2 Mallat快速算法

建立在多分辨率分析(Multi－Resolution Analysis)基础上的金字塔式离散小波分解过程可以描述为:

其中，n=1，2，…N －1，(N 为采样点数)，j为小波分解层数，hk－2n，gk－2n分别为分解的权系数。

2.3 空间屏蔽滤波器

空间屏蔽是用Daubechies小波变换的两个最大尺度j和j+1的细节系数对应相乘，即:

其中，F(x)是空间滤波器系数，Dj(x)和Dj+1(2x)分别为第j和j+1层细节对应的分解参数。噪声在两个相邻尺度上的小波分解，可认为是不相关的，即满足:E［xj，xj+1］=0。而信号畸变点的小波变换在相邻两个尺度上有一致的变化趋势，利用该特征组合成空间屏蔽滤波器可以更加突现畸变点而削弱噪声。畸变点的Lipschitz指数与小波变换在该点的极大值关系为［7，8］:

其中，j是变换尺度，K是与尺度函数相关的常量，a是Lipchitz指数。对二次差后的载波相位数据，其Lipschitz指数a＞0，所以，随着小波变换尺度的增加，畸变点的最大值随着增加。相邻两个尺度的小波变换细节系数构成的空间屏蔽滤波器可以削弱噪声，突现畸变点。

2.4 探测原理

根据单频星间－历元间的二次差，我们知道，在没有噪声干扰和周跳发生的情况下，在连续历元时间间隔内，卫地距的变化加速度是缓慢的、其曲线一阶导数是平滑的［5］;而星间－历元间的二次差可以消除接收机钟差的影响，从而使得由于接收机钟差对周跳的影响消除，经历元间求差后可以削弱大气影响。如果把周跳看做是信号瞬间能量，那么，星间－历元间的二次差相当于提高了信噪比。用紧支集长度为2的Daubechies小波对二次差后离散数据进行多尺度的时—频局部化分析，结合Mallat离散小波的快速算法，检测出周跳的具体位置。因为白噪声的小波分解在较细尺度层上是均匀稠密且相关性很差，所以用第j层和第j+1层的db2小波分析的细节系数构成空间屏蔽滤波器，对db2小波分析的高频细节部分做滤波处理，进一步削弱噪声的影响，让周跳位置更清晰的显露。

3 算例及分析

人为模拟周跳:用事先准备好的、采样率为30 s的、没有周跳的某型号单频GPS接收机实测的16#、31#卫星数据作星间－历元间双差，并人为在星间单差的第50、150、350 个历元处分别加入 1、2、2 周周跳(表1)，经过历元间双差(图1)，后用db2小波5个尺度层进行探测，探测结果如图2所示，db2探测结果的高频系数经小波变换的最高层跟次高层组成的空间屏蔽滤波器后的效果如图3所示。

增加周跳前后的数据列表表1

图1 星间－历元间二次差结果

图2 经db2小波探测周跳结果

图3 经空间滤波器后的周跳结果

从图2可以看出，对采样率为30 s的单频含周跳数据做db2小波变换后，2周的周跳结果探测比较明显(图2第150、第350历元处)。对1周的周跳，在该点噪声很小的情况下可以显现(图2第50历元处)。经过空间屏蔽滤波器后，由图3可见:噪声明显降低了很多，2周周跳点的位置十分突出;但对1周的周跳，如果在该点的噪声很小的情况下，就可以探测到。但对小采样率的数据(小于5 s)来说，在一个历元间隔内，相位数据受到加性噪声的干扰要比大采样率的数据小，故对小采样率的单频数据来说，用该方法对1周左右的周跳是容易探测到的。

4 小波探测周跳的关键技术

一般地，对单频大采样率载波相位数据，其本身受到噪声污染的因素很多(比如接收机钟差，卫星钟差，大气影响等)，而且很难消除。用星间－历元间的二次差分结合多尺度小波分析的方法可以准确探测到2周的周跳。其技术关键在于:在处理高频数据时，结合高斯白噪声经过多层多尺度小波分析后幅度(能量)以约 2－1/2倍速快速衰减的特性［1，8，9］，把相邻两个细尺度层上的小波变换对应相乘，形成空间屏蔽滤波器，用其与最细层的小波变换相乘，可以很好的消除噪声影响，为大采样率载波相位数据的小周跳探测创造了条件。

5 结论

本文对大采样率单频GPS载波相位数据的周跳的探测做了探讨:对观测数据做星间－历元间二次差分，对差分后的序列做db2小波分析，并经过由db2小波分析的最细两个尺度组成的空间屏蔽滤波器滤波后，可以准确探测到2周以上的周跳，但对1周的周跳探测效果不十分明显。该方法与高次差法探测周跳的主要区别是:该方法充分利用了白噪声随小波变换尺度的增加快速衰减的特性探测到信号突变点，而高次差法只是在历元间求差，其不能削弱白噪声的影响，因此，高次差法不能探测到小的周跳。

对1周左右的周跳，如果采取小波变换后通过设置软阈值的方法对数据滤波，在抑制噪声的同时，可以认为在一定程度上对1周的周跳进行了修复，这是对后期工作的展望，不在本文讨论之内。

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