非线性系统相平面法教学中的新方法

王 冰

(河海大学能源与电气学院，南京 江苏 211100)

“自动控制原理”课程是工科电气信息类各专业一门重要的技术基础课。通过本课程的学习，使学生掌握自动控制系统的基本原理和分析方法，建立校正概念。其中，非线性系统分析是经典控制理论关于非线性系统的重要的章节，主要讲述了两种非线性系统分析方法:相平面法和描述函数法，一些论文对这部分的教学作了有益的探讨[1，2]。

在非线性系统分析这一章的教学中，相平面法是其中的重点和难点。多数教材在这一部分叙述中都包括以下部分:相平面的基本概念、相轨迹的绘制方法、线性系统的相平面分析、非线性系统的相平面分析[3，4]。其中，既涉及到大量的理论概念也包括多种实际应用的操作方法，学生在学习中往往顾此失彼，面对习题也无从下手。

在长期教学的基础上，我们将该部分内容用点、线、面加以归纳总结，便于学生掌握，并运用于具体习题的求解中。现在，我们从点、线、面三个方面来解析这部分的内容，将其中的主要理论和方法串接起来讨论。

1 相平面中的点

首先看看相轨迹上的点，具体来说包括两类:起点和奇点。所谓起点，即相轨迹的起始点。在绘制相轨迹中，根据相平面选取的坐标，通过已知的初始条件可以推得相关的信息。

奇点也称为平衡点，具体定义如下:二阶系统微分方程的一般形式为

所以相轨迹上每一点切线的斜率为

2 相平面中的线

在对相轨迹的点进行分析后，我们运用线的功能对相轨迹进行完善和准确定位。这里的线也包括两类:等倾线和渐近线。

先来看看等倾线的概念，由式(2)可以在相平面上画出一条线，这条线上的各点具有相同的切线斜率，均为α。相轨迹上具有等斜率点的连线称为等倾斜。理论上，如令α为不同的常数α1、α2…，根据等倾线方程可在相平面上绘制若干条等倾线。当等倾线足够密集时，在等倾向上的短线方向作一小线段，与第二条等倾线相交;再由这个交点按照第二条等倾线上的短线方向作一小线段，与第三条等倾线相交;依次连接作下去，可得到一条从起点出发的完整的相轨迹。这种等倾线法是一种应用性较强的绘制相轨迹的工程方法，但是在课堂教学中可操作性较差。我们更希望采用等倾斜线作为对点的补充，在相轨迹绘制中为一些关键点(如轨迹与坐标轴的交点)提供斜率信息，以便将由起点至终点(一般就是奇点)的中间部分轨迹较为准确、平滑地连接起来，从而提高相轨迹绘制的可靠性和准确性。

还有一类线是渐近线，它是指斜率较为特殊的等倾线，如与横坐标轴平行(α=0)。并非每条相轨迹绘制都会用到渐近线，但在很多情况下，渐近线对我们绘制非线性系统相轨迹是有帮助的，尤其是在不同区域过渡时，可以作为绘制相轨迹的参照线。

至此，我们已经分析了两点(起点和奇点)和两线(等倾线和渐近线)的使用方法，对于一般线性系统的相轨迹绘制，运用以上方法已经可以得到比较准确的相平面图。但对于非线性系统的相轨迹绘制，还需要运用面的功能。

3 相平面中的面

相平面法就绘制一个面，而对于非线性系统的相轨迹，则需要根据非线性环节的特性，对这个面进行分区。而后在每个区内对应一个线性系统，绘制相应的相轨迹。我们所说的面就是指:运用非线性特性对相平面进行分区，并得到每个分区所对应的微分方程的过程。这一过程是非线性系统相平面分析的必要过程，也是线性系统分析转化为非线性系统分析的关键步骤。但多数教材并没有对这一过程做专门论述，使得学生只能通过例题掌握这部分的内容。具体说来，包括以下内容:①选择合适的变量和坐标系;②运用非线性环节提供的开关线，对相平面进行分区;③在各个分区内，分段列写线性微分方程;④在每个分区运用点和线的方法，分段绘制相轨迹，并连接为一条完整的相平面图。

上述内容通过点、线和面总结了相平面法学习要点，从新的视角解析如何掌握这种较为复杂的非线性系统分析方法，能帮助学生更加系统和有条理地掌握这一控制理论中的经典分析方法。具体过程可参文献[3]中的例题，以作为对本方法的实例。

4 结语

笔者在“自动控制原理”课程的教学中，发现相平面法部分由于内容分散和线索不清等问题，给教学都带来的困难。本文提出了一种点、线和面的讲授方法，分别通过点、线和面三方面将这部分主要的知识点串接起来，形成较为清晰的逻辑线索，便于教师分块讲述，让学生系统掌握这部分主要内容。新方法的特点在于:①内容全面，几乎覆盖了相平面法中所有的知识点;②思路清晰，逐层深入:由点的分析确定相轨迹的起点终点和大致形状，由线的分析细化相轨迹的过渡和连接，由面的分析将线性系统分析转为非线性系统分析;③联系实例，与相平面法部分的经典习题结合学习，能够取得更好的效果。

[1]李世华，田玉平.自动控制原理课程非线性控制部分的教学探讨[J].南京:电气电子教学学报，2007，29(2):95-98

[2]田丽，曹安照.“自动控制理论”中非线性部分教学改革与研究[J].重庆:自动化与仪器仪表，2003，(3):7-8

[3]胡寿松.自动控制原理(第三版)[M].北京:国防工业出版社，1994

[4]谢克明，王柏林.自动控制原理[M].北京:电子工业出版社.，2007