修正黏性摩擦的LuGre模型的摩擦补偿

谭文斌，李醒飞，向红标，吴腾飞，张晨阳

(1. 天津大学精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津 300072；

2. 天津理工大学机械工程学院，天津 300384；3. 天津商业大学机械工程学院，天津 300131)

摩擦力矩在机械伺服系统中普遍存在，并对机械伺服系统产生极大的不利影响，主要表现为机械伺服系统低速时出现爬行，稳态时有较大的静差或出现极限环振荡等．随着工业的发展，机械伺服系统的性能要求越来越高，对摩擦力矩的补偿已成为当前研究热点[1]．为最大程度消除摩擦力矩的不利影响，摩擦补偿必须同时具备快速性和精确性．基于摩擦模型的补偿作为摩擦补偿方法中应用最为广泛的一种，可以预估系统的摩擦力矩[2]，并通过前馈控制实现补偿的快速性，而其补偿的精确性则取决于所依赖的摩擦模型的精确性．

随着对摩擦研究的不断深入，摩擦模型经历了由静态模型到动态模型发展过程[3]，其中Canudas[4-5]于1995年提出的 LuGre摩擦模型，由于其能精确地描述预滑动位移、摩擦滞环、变静摩擦、爬行以及Stribeck效应等各种摩擦动静态特性，已成为当前基于模型的摩擦补偿时最常采用的一种摩擦模型．如Felix等[6]利用 LuGre模型减轻了非理想振动；陈剑锋等[7]基于LuGre模型进行了气缸摩擦力特性实验；王晓东等[8]将 LuGre模型和辨识结果引入电液加载系统数学模型，有效地提高了电液加载系统控制精度．但是 LuGre模型描述摩擦特性的精确性还有待进一步验证，该模型认为稳定状态下，摩擦在高速阶段随速度呈线性变化，但也有学者通过大量实验发现该结论与实验情况并不完全一致，如 Erkorkmaz等[9]通过 Kalman滤波器提取等效摩擦力矩的信号，发现高速阶段随着速度的增加，摩擦力矩的增加幅度降低．因此需要根据开放式伺服系统的实际情况对LuGre模型进行修正，以获得更为精确的摩擦模型．

笔者在对传统的 LuGre摩擦模型的黏性摩擦进行了修正，提出了 LuGre的修正模型，并基于该修正模型利用前馈补偿的控制方案实现了开放式伺服系统的摩擦补偿，有效地改善了系统的跟踪性能，提高了系统的控制精度．

1 LuGre摩擦模型及修正

1.1 传统LuGre摩擦模型

LuGre摩擦模型认为刚体表面是通过有弹性的鬃毛接触的，下表面材料的刚度大于上表面．当施加外力时，由于切向力作用，鬃毛产生变形，从而产生摩擦力，当切向力足够大时，鬃毛进一步变形，以致产生滑动．设状态量 z代表接触面鬃毛的平均变形，摩擦力矩Tf可由LuGre模型描述[4]为

式中：θ˙为电机旋转角速度；0σ为刚性系数，1σ为阻尼系数，均为动态摩擦参数；Tc为库伦摩擦，Ts为静摩擦，Bθ为黏性摩擦系数，θ˙s为切换速度，均为静态摩擦参数．另外，该模型假设 θ˙ (g)总是严格正实且有界．

当系统处于稳态，即0z=˙时，由式(1)～式(3)得到此时摩擦力矩Tfss和速度之间的对应关系为

因此，在稳态时 LuGre摩擦模型能准确地反映Stribeck效应，如图1所示．

图1 Stribeck效应Fig.1 Stribeck effect

1.2 LuGre摩擦修正模型

图2所示为一种典型的开放式伺服系统，由工业控制计算机、Turbo PMAC运动控制器、交流伺服系统、滚珠丝杠螺母副、直线导轨以及运动平台组成．

图2 系统结构Fig.2 System structure diagram

当平台移动处于较低范围内(0～30,mm/s)时，传统 LuGre摩擦模型能很好地估计系统的摩擦力矩，基于该模型的摩擦补偿可以有效地提高伺服系统的跟踪精度[2]．当速度为 0～150,mm/s时，根据文献[2]所述方法可以得到上述系统的速度与摩擦力矩对应关系，同时利用文献[2]中低速条件下辨识得到的LuGre摩擦模型，对不同速度时的摩擦力矩进行估计，结果如图3所示．从图3中可以看出低速条件下辨识得到的 LuGre摩擦模型，在高速时对摩擦力矩的估计存在较大偏差，而且随着速度的继续升高，偏差越来越大．

图3 平台移动速度与摩擦力矩的对应关系Fig.3 Relationship between platform speed and friction torque

由于在速度较高时，式(4)中非黏性摩擦部分基本不随速度的变化而改变，因此图4反映了黏性摩擦随速度的增大其增长逐渐减缓的性质，与 LuGre模型描述不符．从而需要对黏性摩擦进行修正，建立一种修正模型，新模型应既能描述黏性摩擦增加趋势变化的现象，又能体现传统LuGre模型的特点．

本文描述黏性摩擦的公式为

(1) 对式(5)求导得

图4 开放伺服系统摩擦前馈补偿方案Fig.4 Friction feedforward compensation scheme of open servo system

由此可知，式(5)能很好地满足建立修正模型的要求．据此，本文提出一种LuGre的修正模型为

式中：Bθ1为黏性摩擦斜率因子，N m⋅；Bθ2为黏性摩擦变化因子，s/rad．

2 前馈补偿控制策略

伺服系统中由于摩擦力矩的影响，将产生一定的稳态误差，并且摩擦力矩越大，则稳态误差越大，同时，由摩擦的特性可知，摩擦随速度的增加而增加，因此系统速度越高时，也将产生更大的稳态误差，需要采用合适的控制策略对其补偿，以提高控制系统的性能．

通过辨识得到伺服系统准确的摩擦模型后，可设计前馈补偿器进行摩擦补偿．其基本思想是在伺服系统的控制信号或者在电机力矩输出转矩上叠加一个补偿信号来提高伺服系统的跟踪精度，从而改善伺服系统的性能．图 4所示为采用的摩擦前馈补偿方案．首先对开放式伺服系统进行速度加速度前馈补偿，确保由输入信号引起的稳态误差为零；然后基于LuGre摩擦修正模型，在系统控制信号u上叠加摩擦补偿信号，完成对伺服系统的摩擦前馈补偿．利用Turbo PMAC控制器的用户自定义伺服算法功能[10]，可以编写实现该控制策略的伺服算法程序．

3 实验及结果分析

首先分别辨识传统模型和修正模型的参数，得到辨识结果如表1所示．

然后利用辨识后的模型对稳态时的系统摩擦力矩进行估计，结果如图 5所示，可以看出当系统具有较高速度时，传统 LuGre模型对伺服系统摩擦力矩的估计具有较大的偏差，最大误差为 0.023,N·m，而本文提出的修正模型在不同速度条件下均具有较高的估计精度，最大误差为 1.7×10-3,N·m，为有效实现开放式伺服系统的摩擦补偿提供条件．

表1 模型参数辨识结果Tab.1 Results of model parameter identification

图5 平台移动速度与摩擦力矩的对应关系Fig.5 Relationship between platform speed and friction torque

最后验证本文中提出的基于修正模型的摩擦前馈补偿方法的有效性．采用 3种不同的补偿方法，方法 A仅做速度、加速度前馈补偿；方法 B在方法 A的基础上，基于传统 LuGre模型进行摩擦前馈补偿；方法 C在方法 A基础上，基于修正模型进行摩擦前馈补偿．当系统具有较高的运行速度时，观测对比 3种补偿方法下系统的跟踪误差．

输入匀加速运动信号(加速度为 500,mm/s2)时，如图6所示，采用方法A时，系统的跟踪误差从零以较快速度增大到 40,μm，然后慢速增大，最大为91,μm；采用方法 B时，稳态误差在约±9,μm 的范围内波动；而采用方法C时，稳态误差的波动范围缩小到约±5,μm．

输入正弦信号(r(t)＝5,sin(3,πt)mm)时，如图 7所示，采用方法A时，系统的跟踪误差从零快速增大215,μm 附近，然后快速减小，其稳态误差在±80,μm范围内波动；采用方法B时，系统的跟踪误差从零快速增大 160,μm 附近，然后快速减小，其稳态误差在±12.5,μm 范围内波动；采用方法 C 时，其稳态误差得到更好的抑制，在±8,μm范围内波动．

图6 匀加速运动时的跟踪误差和位移曲线Fig.6 Curves of tracking error and displacement for uniformly accelerated motion

图7 正弦运动时的跟踪误差和位移曲线Fig.7 Curves of tracking error and displacement for sinusoidal motion

由此可知，采用基于传统模型或者修正模型的摩擦前馈补偿时，开放式伺服系统的跟踪性能得到不同程度的改善；而修正模型能更准确地预估系统的摩擦力矩，基于修正模型的摩擦前馈补偿能使系统跟踪误差得到更好的抑制，提高了系统的控制精度．

4 结 论

(1) 对传统 LuGre摩擦模型的黏性摩擦进行了修正，建立了 LuGre摩擦修正模型，并提出了一种基于修正模型的摩擦前馈补偿方案．

(2) 当系统具有较高速度时，修正模型对系统摩擦力矩的最大估计误差为 0.001,7,N·m，优于传统模型的 0.023,N·m．

(3) 与基于传统模型的摩擦补偿相比，基于修正模型的摩擦补偿时，系统的稳态误差，加速运动时由±9,μm 降到±5,μm，正弦运动时由±12.5,μm 降到±8,μm．

(4) 本文中提出的摩擦模型在不同速度条件下均能对系统摩擦力矩进行准确预估，采用本文提出的补偿方案能有效地抑制摩擦干扰对伺服系统的不利影响，提高了伺服系统的跟踪性能．

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