计数原理

１． 计数原理的重点

（1）理解分类计数与分步计数的基本概念及适用范围；

（2）能够熟练运用排列、组合公式解决问题；

（3）掌握解排列、组合问题的常规技巧，能举一反三；

（4）熟练运用二项展开式的通项公式求特定项及特定项的系数．

２． 计数原理的难点

（1）排列、组合的综合应用，解题方法的灵活多变；

（2）有序还是无序问题的区别，解答方法的选择依据；

（3）平均分组问题易混淆，要遵循先分组后排列的原则；

（4）多项展开式的特定项系数问题以及系数最大项问题．

1． 排列问题

（1）特殊元素优先排，特殊位置优先排；（2）相邻问题利用捆绑法；（3）不相邻问题利用插空法；（4）正难则反问题利用间接法．

2． 组合问题

（1）平均分组问题利用除法；（2）非均匀分组问题利用闸板法；（3）遵循先选后排的解答顺序．

3． 二项式定理

（1）利用通项公式求特定项及其系数；（2）利用排列组合知识求系数；（3）利用赋值法求系数和．

如图1，在某城市中，M，N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N的不同走法共有（ ）

Ａ． 25种

Ｂ． 15种

Ｃ． 13种

Ｄ． 10种

思索 从图中可以看出要从M到N，无论哪条线路都必须经过中间的“路口”，而中间有5个这样的“路口”，所以可以从经过“路口”的多少来分类解决．

破解 设“路口”为A1，A2，A3，A4，A5． 由M经过一个“路口”到N的方案有5种；由M经过两个“路口”到N的方案有4种；由M经过三个“路口”到N的方案有3种；由M经过四个“路口”到N的方案有2种；由M经过五个“路口”到N的方案有1种． 由分类计数原理知共有15种，故选B．

用1、2、3、4、5、6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是_____．

思索 一方面此题有相邻元素，所以首先考虑捆绑法，其次有不完全相邻元素需要考虑插空法；另一方面考虑到此题元素总数不多，因此也可以利用两个计数原理解决．