2012年高考必做客观题——数列题

数列的概念及表示

（★★★）必做1 已知数列｛an｝满足：a1=m（m为正整数），an+1=，当an为偶数时，3an+1，当an为奇数时.若a4=7，则m所有可能的取值为________．

精妙解法 由a4=7a3=14或2（舍去）；由a3=14a2=28或（舍去）；由a2=28a1=56或9；所以a1=56或9，即m=56或9．

误点警示 分段数列问题是数列中的难点，对每一项计算、区分的细心程度是解决问题的关键．

极速突击 可从通项关系寻求数列规律，采用排除法逆向探求数列｛an｝的每一项都是整数的方法比正向推导更简洁．

（★★）必做2 已知数列：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010等于________．

精妙解法 将上述数列看成，，，，，，，，，，…，找寻其规律，设第n组有n个数，可知Sn=1+2+…+n=2010．当n=63时，Sn=2016，故第2016个数是，倒推至第2010个数，这个数列的第2010项a2010=．

极速突击 善于总结规律，掌握从特殊到一般的思想．

金刊提醒

根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式，解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较、归纳去发现项数与项之间的关系，如果关系不明显，就应将项作适当变形或分解，让规律凸显出来，便于找到通项公式．

等差数列

（★★★）必做3 设｛an｝是一个公差为d（d>0）的等差数列． 若++=，且其前6项的和S6=21，则an=_________．

精妙解法 由题意有－+－+－=，且=21，即－=，且2a1+5d=7，联立求解得a1=d=1，所以通项an=n.

极速突击 等差数列问题一般都转化为首项a1与公差d的关系来处理，尤其是运用等差数列的性质，通过整体运算求解更为常见．

（★★★）必做4 已知无穷数列｛an｝是各项均为正数的等差数列，则有（ ）

A．

C． >D． ≥

精妙解法 a4 a8 =（a1+3d）（a1+7d）=a+10a1d+21d2，a=（a1+5d）2=a+10a1d+25d2，故≤，当d=0时，取等号，选B．

极速突击 在等差数列中，首项和公差是基本量；a1，an，d，n，Sn五个量中知三求二，一般用方程思想求解，有时也可用首项、末项和中项来表示，并注意整体代换．

金刊提醒

利用等差数列的基本公式和性质是解决等差数列问题的有效手段．

等比数列

（★★★）必做5 设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且a5=S5，则=____．

精妙解法 ｛an｝是等比数列，且a5=S5，所以a1+a2+a3+a4=0，所以a1（1+q+q2+q3）=a1（1+q）（1+q2）=0，所以q=－1，所以S2010==0，即=0．

极速突击 与等差数列一样，在等比数列中，首项和公差是基本量；a1，an，q，n，Sn五个量中知三求二，一般用方程思想求解，但要注意等比数列的一些限制条件．

（★★★）必做6 已知正项等比数列｛an｝满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得=4a1，则+的最小值为________．

精妙解法 设此数列的公比为q，由题意a5q2=a5q+2a5，解得q=2，又由条件=4a1，得（a1qm－1·a1qn－1）=a1q=4a1，化简得m+n=6，故+=+=5++≥（5+2）=．

极速突击 数列问题与其他数学内容交汇已成为近年高考的一大热点． 由条件先确定m，n的关系，再考虑利用均值不等式求解．

金刊提醒

利用等比数列的基本公式或性质是解决等比数列问题的有效手段；基本量、方程与函数的思想方法对于等比数列同样重要；等比数列可以类比等差数列的相关性质来研究．

递推数列

（★★★）必做7 若数列｛an｝满足+=k（k为常数），则称数列｛an｝为等比和数列，k称为公比和． 已知数列｛an｝是以3为公比和的等比和数列，其中a1=1，a2=2，则a2010=_______．

精妙解法 令=bn，由已知可得bn+bn+1=3． 因为b1==2，所以b1=b3=…=b2n－1=2，b2=b4=…=b2n=1，所以a2010=··…·a1=b2009b2008…b1a1=21005．

极速突击 已知数列的递推式求通项公式的常用方法有：（1）叠加法，递推式为an+1=an+f（n）． （2）连乘法，递推式为an+1=an·f（n）． （3）先猜后证法，先根据递推式求出前几项，再归纳猜想，最后用数学归纳法证明． （4）构造化归法，形如an=kan－1+b的递推数列可用待定系数法化归为等比数列an+A=k（an－1+A）来解决；形如an=kan－1+kn的递推数列两边同除以kn后化归为等差数列来解决；形如an=的递推数列可以两边先倒数，再化归为等差数列来解决． （5）先求Sn，再求通项an法． 在一个等式中，既有an又有Sn时，通常采用迭代作差的办法先消去Sn，进而得到an的递推式，再采用以上方法求通项，但有时也可以考虑消去an，即利用an=Sn－Sn－1（n≥2）先得到Sn的递推式，再采用以上方法求Sn，最后利用an=S1，n=1，Sn－Sn－1，n≥2求通项an．

（★★★★）必做8 已知定义在［0，+∞）上的函数f（ｘ）满足ｆ（ｘ）＝３ｆ（ｘ＋２），当x∈［0，2）时， f（ｘ）＝－x2+2x． 设f（ｘ）在［2n－2，2n）上的最大值为an（n∈N?鄢），且｛an｝的前n项和为Sn，则Sn=_______．

精妙解法 由题意f（x+2）=f（x），即f（x）=f（x－2），在［2n－2，2n）上，n=1，f（x）max=1，a1=1；n=2，f（x）max=，a2=；n=3， f（x）max=，a3=，…，an=，所以Sn==1－．

极速突击 数列是定义在正整数集上的函数，本题分段函数的最值正好为数列an（n∈N?鄢）的相关项．

金刊提醒

（1）“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要． 解题要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要合理地运用条件，又要时刻注意题的目标．

（2）已知数列的前n项和Sn，求通项an，可利用公式an=S1，n=1，Sn－Sn－1，n≥2，但易忽视an=S1（n=1）．

（3）对于等比数列前n项和Sn，当公比是一字母时，必须分公比等于1和不等于1的情况．

数列求和

（★★★）必做9 已知数列｛an｝是首项为a，公比也为a（a>0，a≠1）的等比数列，令bn=an·lgan（n∈N），则数列｛bn｝的前n项和Sn=_________．

精妙解法 因为an=an，bn=n·anlga，所以Sn=（a+2a2+3a3+…+nan）lga，①

aSn=（a2+2a3+3a4+…+nan+1）lga，②

①-②得：（1－a）Sn=（a+a2+…+an－nan+1）lga，所以Sn=［1－（1+n－na）an］

极速突击 “错位相减”是数列求和最重要的方法之一，等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，能将复杂的数列转化为等差、等比数列．

（★★★☆）必做10 已知数列｛an｝满足a1=，an+1=a－an+1（n∈N?鄢），

那么M=++…+的整数部分应该是__________．

精妙解法 由已知an+1=an（an－1）+1，则=－=－，故有M=－=2－，由于a3=>2，且an+1>an，则∈（0，1），所以M∈（1，2），其整数部分为1．

金刊提醒

求数列的前n项和Sn，首先要观察数列是否为等差或等比数列，或是否能转化为等差、等比数列来求． 若不是，则先分析属于哪类特殊数列，再用相应的方法求解． “错位相减”法与“裂项相消”法是考查较多的两种方法．

数列在实际生活中的应用

（★★☆）必做11 甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同，甲以后每个月比前一个月增加相同的产值；乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同． 到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同． 比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有（ ）

A． 甲的产值小于乙的产值

B． 甲的产值等于乙的产值

C． 甲的产值大于乙的产值

D． 不能确定

精妙解法 由题意甲工厂的月产值呈递增的等差数列，乙工厂的月产值呈递增的等比数列，结合图象理解在中间月份甲的产值大于乙的产值． 选C．

极速突击 数列是定义在正整数集上的函数，许多数列问题都可借助函数方法处理．本题若用列式求解过程可能较繁．