2012年高考必做客观题——解析几何题

直线的方程及位置关系

（★★★）必做1 已知函数f（x）=x3+x+1在x=0处的切线与两坐标轴围成的面积为________．

精妙解法 由f（x）=x3+x+1可得f ′（x）=3x2+1，则切线的斜率为k=f ′（x）x=0=1，而f（0）=1，故切线方程为y=x+1，在两坐标轴上的截距分别为－1，1，故与两坐标轴围成的三角形的面积为．

（★★★）必做2 一条光线沿直线2x－y+2=0入射到直线x+y－5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）

A． 2x+y－6=0 B． x+2y－9=0

C． x－y+3=0 D． x－2y+7=0

精妙解法 易知两直线的交点坐标为P（1，4）． 在直线2x－y+2=0上任取一点，如取点A（-1，0），设点A关于直线x+y－5=0的对称点为B（a，b），根据点关于直线对称的性质有+－5=0，b=a+1，解得a=5，b=6，由P（1，4），B（5，6）易得所求反射光线所在的直线方程为x－2y+7=0． 故选D．

金刊提醒

一些典型方法要熟练，如求点关于直线的对称点问题，通常利用关系：中点在对称轴上、两点连线与对称轴垂直等．直线方程常常与方程（组）相联系，依据条件合理转化为方程（组）问题．同时，解法也需要与时俱进，如利用导数确定直线的斜率．两直线的位置关系问题，既要看“数”的关系，又要有“形”的支撑，数形结合才能准确快速解决问题．

圆的方程

（★★★）必做3 已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则C的方程为__________．

精妙解法 由题意知，两切线间的距离即为圆C的直径，所以半径r=×=，又两切线分别与直线x+y=0的交点为切点，可得两切点分别为（0，0），（2，－2），故圆心为C（1，－1），所以C的方程为（x－1）2+（y+1）2=2．

极速突击 数形结合，通过几何图形快速确定圆的圆心、半径，充分利用问题的“个性”条件． 一般利用几何意义解题会比较直观、简洁．

（★★）必做4 设A为圆（x－1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且PA=1，则P点的轨迹方程为（ ）

A. （x－1）2+y2=4

B. （x－1）2+y2=2

C. y2=2x

D. y2=－2x

精妙解法 由条件得，圆心为C（1，0），半径R=1，设P（x，y），则PC2=R2+PA2=2，所以（x－1）2+y2=2. 选B.

极速突击 结合图象，找出P点满足的条件，形成对应的方程.

（★★★）必做5 已知动圆C经过点F（0，1），并且与直线y=－1相切，若直线3x－4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积（ ）

图1

A． 有最大值为π

B． 有最小值为π

C． 有最大值为4π

D． 有最小值为4π

精妙解法 如图1所示，由圆C经过点F（0，1），并且与直线y=－1相切，可得点C的轨迹为抛物线x2=4y，显然，以抛物线x2=4y上任一点为圆心可作出任意大的圆，与直线3x-4y+20=0相交，即圆C的面积不存在最大值． 设圆C与3x-4y+20=0相切于点A，其圆心为（x0，y0），则由AC=PC可得，d==y0+1（点C在直线3x-4y+20=0的右侧），即=x+1，解得x0=－2或x0=（舍去）． 当x0=－2时，圆心C的坐标为（-2，1），此时圆C的半径为2，即可得圆C的面积的最小值为4π

极速突击 弄清楚最小圆圆心的位置，很快可以算出最小半径的圆的相关数据．

金刊提醒

概念明晰是基础，数形结合是关键．圆心与半径作为圆的两个核心要素要念念不忘，“圆不离心”，涉及圆的试题大多要从圆心考虑，通过半径建立关系．

直线与圆的位置关系

（★★★）必做6 已知点P是圆C：（x－2）2+y2=4上一动点，点P到直线x－y+3=0的最短距离是_____．

精妙解法 圆C的圆心是C（2，0），C到直线x－y+3=0的距离为d==，所以点P到直线的最短距离为d－2=．

（★★★）必做7 在圆x2+y2=5x内，过点，有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈，，那么n的取值集合为（ ）

A． ｛３，４，５｝Ｂ． ｛６，７，８，９｝

Ｃ． ｛４，５，６｝Ｄ． ｛３，４，５，６｝

精妙解法 由题意，圆心，0，最短的弦是过点，且平行于X轴的弦，最长的弦当然是直径． a1=2=4，an=×2=5，所以d==． 因为

误点警示 不善于数形结合，不能充分利用圆的几何性质，盲目利用方程或者方程组运算，简单问题复杂化．

极速突击 对于圆的弦长问题一般会利用半径、半弦长、圆心到直线的距离三者关系求解，而不会利用一般的弦长公式． 要掌握问题的一般解法，更要理解问题的“个性”解法，充分利用条件和几何对象的性质解题．

（★★★）必做8 已知两个不相等的实数满足以下关系：a2·sinθ+a·cosθ－=0，b2·sinθ+b·cosθ－=0，则连结A（a2，a），B（b2，b）两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是（ ）

A. 相离 B. 相交

C. 相切D. 不能确定

精妙解答 由题意得，a，b是方程x2·sinθ+x·cosθ－=0的两个根，所以由根与系数的关系有，a+b=－= －cotθ，所以kAB===－tanθ，所以直线AB的方程为y－a=－tanθ（x－a2），即x·sinθ+y·cosθ=a2·sinθ+a·cosθ=. 原点到直线的距离为d==<1，即该直线与单位圆相交. 选B.

极速突击 利用根与系数的关系得到直线的方程，再结合圆与直线位置关系判定的充要条件，可以得到直线与单位圆之间的位置关系. 同学们在复习时，还可以将该题推广到更一般的情况，即圆不是单位圆.

金刊提醒

确定圆的方程可以用待定系数法或者几何法，往往两种方法组合运用达到最佳效果． 首先笔下或者心中有图，然后根据题意选择合适的方程形式，通过几何方法确定圆的要素，或者根据条件列出方程（组）． 处理直线与圆的位置关系问题，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何性质，尽可能简化运算，直线与圆的位置关系一般不会利用方程组的解的情况，而是利用圆心到直线的距离．

圆锥曲线的定义

（★★★）必做9 已知△ABC三个顶点均在抛物线y2=4x上，抛物线的焦点为F，若+=，则FA+FB+FC=________．

精妙解法 抛物线焦点坐标为（1，0）． 设A，B，C三点的横坐标分别为x1，x2，x3，=（x1－1，y1），=（x2－1，y2），=（1－x3，－y3），x1－1+x2－1=1－x3，所以x1+x2+x3=3，所以FA+FB+FC=x1+x2+x3+3=6．

（★★★）必做10 已知椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，直线y=x+3与该椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M（－2，1），且PQ=2，则椭圆的方程是________．

精妙解法 因为点M（－2，1）是线段的中点，且在直线y=x+3上，可解得两点的坐标为（-1，2）、（-3，0）． 设所求方程为mx2+ny2=1，把两点坐标代入可得+=1．

极速突击 在椭圆或者双曲线焦点位置不确定时，可以设mx2+ny2=1或者mx2－ny2=1的形式，然后根据条件确定系数，从而避免分类讨论．

（★★★）必做11 直线MN与双曲线C：－=1的左、右支分别交于点M，N，与双曲线C的右准线l相交于点P，F为双曲线的右焦点，若FM=2FN，又=λ（λ∈R），则实数λ的值为（ ）

A. B. 1 C. 2 D.

精妙解法 如图2所示，分别过点M，N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A. 由双曲线的第二定义可得，==e，则==2，因为△MPB～△NPA，所以==，即=. 选A.

图2

极速突击 同学们在掌握圆锥曲线的定义时，应当注意全面性，对第一、第二定义都要认真理解.

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求圆锥曲线方程问题一般是采取“先定形、后定量”的原则，定形：圆锥曲线的焦点位置与对称轴位置，根据形选取相应的方程形式；定量：根据圆锥曲线的“形”，由题设条件找到方程中待定系数满足的关系式，通过解方程或者解方程组得到相关量的值.

圆锥曲线的几何性质

（★★★）必做12 已知F1，F2分别是椭圆的左、右两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点. 若AB=F2B，则这个椭圆的离心率是（ ）

A. B.

C. D.

精妙解法 不妨设AF1=1，由条件知，△ABF2是正三角形，所以AF2=2，F1F2=，所以椭圆的离心率为e====. 选C.

（★★★）必做13 已知抛物线y2=2px（p>0）与双曲线－=1（a>0，b>0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（ ）

A． 0，B． ，

C． ，D． ，

精妙解法 设双曲线半焦距为c，l的倾斜角为θ，则c2=a2+b2>b2，依题意有c=①，在抛物线中求得AF=p，在双曲线中求得AF=，所以=p②，由①②得=2c，故tanθ==>2． 又θ∈0，，于是θ∈，，选D．

（★★★）必做14 已知F1，F2分别是双曲线－=1的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线，与双曲线的一个交点为P，G是△PF1F2的重心． 若·=0，则此双曲线的离心率是_______．

精妙解法 据题意知，△PF1F2三个顶点的坐标分别为F1（－c，0），F2（c，0），Pc，，故该三角形的重心G为，． 因为·=0，所以a－·2c=0，所以=a，即e=3．

极速突击 明确相关点、线等几何对象与基本量的关系，依据条件建立基本量之间的等式，从而解出离心率． 求离心率是客观题中一种重要的题型，其方法是建立关于a，b，c的方程或不等式来求解．

图3

（★★★★）必做15 如图3，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线，分别交抛物线的准线l、y轴、抛物线于A，B，C三点，若=3，那么直线的斜率是__________．

精妙解法 过点B，C分别作准线l的垂线，垂足分别为B1，C1，记BC=a．因为O是E，F的中点，BO∥AE，所以AB=BF=3a，CF=CC1=2a，在△ACC1中，AC1=2a，tan∠AFO=，故直线的斜率是－.

极速突击 把所有问题化成坐标问题，再通过建立方程、方程组求解是处理直线与圆锥曲线的问题的通性通法，但有时利用概念、几何性质等可以极大地减少运算，提高准确率.

图4

金刊提醒

客观题中，圆锥曲线的定义与性质是解题的基础，要能灵活地运用定义与性质，并结合图形的几何特征来解题，必要时要用到解析几何的通法．