2012年高考必做客观题

集合的运算

（★★★★）必做1 若全集为实数集R，M=xlogx≥2，则CRM等于（ ）

A． （－∞，0］∪，+∞

B． ，+∞

C． （－∞，0］∪，+∞

D． ，+∞

精妙解法 法1：（验证排除）集合M中没有0这一元素，有这一元素，故CRM=（－∞，0］∪，+∞，选A．

法2：（直接求解）由logx≥2得logx≥log，即0

误点警示 对于用描述法给出的集合｛xx∈P｝，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质．

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集合的子、交、并、补等综合运算，几乎成了每年高考必考的低档题，处理这类问题的一般步骤是：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性，再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，其一般规律为：（１）若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；（２）若给定的集合是点集，用数形结合法求解；（３）若给定的集合是抽象集合，用韦恩图求解．

函数及其表示

（★★★★）必做2 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且f（x）=1，－1

精妙解法 由f（x+1）=－f（x），得f（x+2）=－f（x+1）=f（x），所以f（3）=f（1）= －1．

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并不是所有的函数关系都可以用解析式来表示，要克服“函数就是解析式”的片面认识．函数还有另外两种表示方法：列表法、图象法，其中列表法、图象法直观，解析法是常用表示法；此外，函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，切勿忘记．

函数的解析式

（★★★☆）必做3 设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对于任意的实数x，y都有f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1）成立，则f（x）=__________．

精妙解法 因为对于任意的实数x，y都有f（x－y）=f（x）－y（2x－y+1）成立，令x=0可得，f（－y）=f（0）－y（－y+1）=y2－y+1，所以f（x）=x2+x+1．

极速突击 求函数解析式的常用方法有：

（1）待定系数法——已知所求函数的类型；

（2）代换（配凑）法——已知形如f（g（x））的表达式，求f（x）的表达式；

（3）方程的思想——对已知等式进行赋值，从而得到关于f（x）及另外一个函数的方程组．

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本点要求在熟练掌握有关技能的同时，注意换元法、待定系数法等数学思想方法的运用．通过对分段函数、复合函数、抽象函数的认识，进一步体会函数关系的本质．分段函数是高考的热点，它其实是一个函数，由于该函数在自变量取值的各个阶段其对应关系不一样，故以分段形式给出，它的定义域、值域应是各阶段相应集合的并集．

函数的值域与最值

（★★★）必做4 若不等式a＋≥2在x∈，2上恒成立，则实数a的取值范围为________．

图1

精妙解法 不等式即为a≥ －＋2在x∈，2上恒成立． 而函数f（x）＝－＋2＝x，

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确定函数f（x）的值域或最值必须首先探求函数f（x）在其定义域内的单调情况. 若f（x）是基本初等函数，则优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法，也可直接利用它的图象和性质求解；若f（x）为其他函数，则可先利用单调性定义或导数法确定其性质，再求值域．

函数的图象及应用

（★★★☆）必做5 已知函数f（x）=2x，x≤1，logx，x>1， 则函数y=f（1－x）的大致图象是（ ）

精妙解法 法1：由已知得f（1－x）=，x≥0，log（1－x），x<0，选C．

法2：利用特殊值排除，选C．

（★★★★）必做6 设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2－1的图象为下列之一，则a的值为（ ）

A． 1 B． －1

C． D．

精妙解法 前两个函数图象关于y轴对称，故b=0，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故a2－1=0，即a=±1． 又对称轴大于零，即x=－>0，由b>0得a<0，所以a=－1，选B．

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函数的图象从直观上很好地反映了函数的性质，观察函数的图象时要抓住其关键特征，如对称性、过定点、单调性、定义域和值域等，由此进行综合判断；在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要准确，否则易出错．

函数的单调性与奇偶性

（★★★★）必做7 已知f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为［a－1，2a］，则其值域为________．

精妙解法 因为f（x）是偶函数，所以a－1=－2a，则a=． 根据偶函数定义知b=0，所以f（x）=x2+1，x∈－，，所以其值域为1，．

误点警示 本题易忽视偶函数的定义域关于原点对称的先决条件，从而导致问题解答不出确定值．

（★★★☆）必做8 已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2－x）成立，且当x∈（－∞，1）时，（x－1）f ′（x）<0（其中f ′（x）为f（x）的导数）． 设a=f（0），b=f，c=f（3）， 则a，b，c三者的大小关系是（ ）

A． a

C． a

精妙解法 由f（x）=f（2－x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=1对称，所以f（3）=f（－1）． 又当x∈（－∞，1）时，（x－1）f ′（x）<0，即f ′（x）>0，则f（x）在（－∞，1）上单调递增． 所以f（－1）

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判断函数奇偶性先看定义域，再利用定义判定；用图象判定也是常用的方法．

解决具体函数的单调性问题，一般求导解决；对于选择题和填空题，也可用一些命题求解，如两个增（减）函数的和函数仍为增（减）函数；而解决与抽象函数有关的单调性问题一般用单调性的定义解决．

函数性质的综合运用

（★★★★）必做9 已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x1，x2∈［0，3］，且x1≠x2时，都有>0，给出下列命题：

① f（3）=0；

②直线x=－6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在［－9，－6］上为增函数；

④函数y=f（x）在［－9，9］上有两个零点．

其中正确命题的序号为_______（把所有正确命题的序号都填上）．

精妙解法 因为x1≠x2时，都有>0，所以f（x）在［0，3］上递增． 因为f（x+6）=f（x）+f（3），令x=－3得f（3）=f（－3）+f（3），所以f（－3）=0． 因为f（x）为偶函数，所以f（3）=0． ①正确．

所以f（x+6）=f（x）． 所以f（x）周期为6，画出示意图如图2：

由图象知②正确，③④不正确，填①②．

图2

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深刻理解奇偶性、单调性、周期性的定义，掌握判定方法及函数图象变化的一般规律，是解决此类问题的关键． 若所给函数为具体函数，则严格按照定义判断，注意变换中的等价性；若为抽象函数，则在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性与合理性．

二次函数的图象及性质

（★★★★）必做10 若函数f（x）= －x2+（2a－1）x有四个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（ ）

A． a>B．

C． a>D． a<

精妙解法 f（x）=－x2+（2a－1）x是由函数g（x）=－x2+（2a－1）x变化得到，先保留g（x）在y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象． 由题意，g（x）=－x2+（2a－1）x的对称轴在y轴的右侧，所以>0，即a>． 选C．

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学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图象特征． 从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理；从图象特征出发，可以实现数与形的自然结合．

指数函数与对数函数的图象及性质

（★★★★）必做11 已知函数f（x）=－log（x2－ax+3a）（φ为锐角）在区间［2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是________．

精妙解法 令u=x2－ax+3a，因为00在［2，+∞）上恒成立，且为增函数，所以≤2，u（2）=4－2a+3a>0，解得－4

极速突击 对于复合函数的单调性，我们一定要遵循“同增异减”的原则．

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指数函数与对数函数互为反函数，运算可相互转化，性质可相互理解，方法可相互借鉴． 复习时要（1）学会指数式与对数式的相互转化；（2）结合与指对数“互反”性质有关的概念、图象和性质；（3）底是参数时，一定要区分底是大于1还是小于1的，与对数有关的问题还要紧扣对数函数的定义域．

函数的零点与方程的根

（★★★★）必做12 若定义在R上的奇函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0

精妙解法 由条件f（x+2）=f（－x）= －f（x）， 因此f（x+4）=－f（x+2）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数．由f（x）是定义在R上的奇函数，知f（0）=0，方程f（x）=－+f（0）化为f（x）=－．结合图象可知，f（x）=－在（0，1），（1，2）内各有一个实根，且这两根之和为2；f（x）= －在（4，5），（5，6）内各有一个实根，且这两根之和为10；f（x）=－在（8，9），（9，10）内各有一个实根，且这两根之和为18． 所以方程f（x）=－+f（0）在区间（0，10）内有6个不同的实根，这6个实根之和为30．

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求解有关函数零点（方程的根）的问题时，我们应充分利用函数与方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式．

导数的运算及几何意义

（★★★★）必做13 若函数f（x）=（x－2）（x2+c）在x=2处有极值，则函数f（x）的图象在x=1处的切线的斜率为________．

精妙解法 f（x）=x3－2x2+cx－2c，所以f ′（x）=3x2－4x+c，又f ′（2）=0得c=－4，所以f ′（x）=3x2－4x－4，所以f ′（1）=－5.

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导数f ′（x0）的几何意义是曲线数y=f（x）在某点x0处切线的斜率，因此切线方程可通过求导数先得斜率，再由切点利用点斜式方程求得． 求过点P（x0，y0）的切线方程时，一要注意P（x0，y0）是否在曲线上；二要注意该点可能是切点，也可能不是切点，因而所求的切线方程可能不只1条．

导数的运用

（★★★★）必做14 f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值为10，那么a+b=________．

精妙解法 由f（1）=10，f ′（1）=0得1+a+b+a2=10，3+2a+b=0，即a=4，b=－11或a=－3，b=3，所以a+b=－7或a+b=0． 当a=4，b=－11时， f ′（x）=3x2+8x－11=（3x+11）（x－1），当x∈－，1时， f ′（x）<0；当x∈（1，+∞）时， f ′（x）>0，故当x=1时， f（x）有极小值． 当a=－3，b=3时， f ′（x）=3（x－1）2≥0，即此时x=1非极值点，所以a=－3，b=3不合题意，舍去． 综上得a+b=－7．

误点警示 （1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数值异号，而不仅是f ′（x0）=0． f ′（x0）=0是x0为极值点的必要而非充分条件． （2）给出函数极大（小）值的条件，既要考虑f ′（x0）=0，又要检验其是否满足“左正右负”（“左负右正”）的条件．

（★★★★）必做15 已知函数f（x）=ex－－ax－1，当x≥时，若关于x的不等式f（x）≥0恒成立，则实数a的最大值为________．

精妙解法 由f（x）≥0，得ax≤ex－x2－1，因为x≥，所以a≤． 令g（x）=，则g′（x）=，再令φ（x）=ex（x－1）－x2+1，则φ′（x）=x（ex－1），因为x≥，所以φ′（x）>0，即φ（x）在，+∞上单调递增． 所以φ（x）≥φ=－>0，因此φ（x）>0g′（x）>0x∈，+∞，故g（x）在，+∞上单调递增． 则g（x）≥［g（x）］min=g==2－，所以amax=2－．

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导数的应用问题，首先要确定函数的定义域，再求导数f′（x），得到导函数的零点后，一般列表判定单调区间与极值或最值；若是含参变量的单调性或极值问题，则应结合定义域对方程根的问题进行讨论；对于某些综合问题，还要进行命题转化（如恒成立、大小比较、数列问题等），逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意分类讨论、数形结合等思想的综合运用．