空间角

重点：①理解两条直线所成角（线线角）和直线与平面所成角（线面角）及两平面所成角（二面角）的概念，灵活掌握三种角的常规作图与求解方法；②能够建立恰当的空间直角坐标系，掌握“方向向量”与“法向量”的求解方法，并灵活运用向量公式求三种角.

难点：①二面角平面角的寻求，以及“法向量”的求解；②线面角与二面角平面角求解中，“一找，二证，三求”三步都必须规范、完整；③将空间图形转化为平面图形即“降维” 的思想方法的掌握.

1.运用几何推理求空间角的一般步骤为：一找，二证，三求

（1）求异面直线所成的角

①平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条为相交直线；

②求值：作出相应的三角形，求解三角形；

③注意：当求出的角为钝角时，应取它的补角作为所求的两条异面直线所成的角.

（2）求直线与平面所成的角

①作垂直：过直线上一个点向平面引垂线；

②连线：连结垂足与直线和平面的交点，所得直线与已知直线所成的角即为直线与平面所成的角；

③求解：在所成的直角三角形中求之.

（3）二面角的求法

①转化为求平面角；

②面积射影法：利用面积射影公式S射=S原·cosθ，其中θ为平面角的大小.

对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影法）.

2.运用空间坐标运算求空间角的一般步骤

（1）建立恰当的空间直角坐标系；

（2）求出相关点的坐标；

（3）写出向量的坐标；

（4）结合公式进行论证、计算；

（5）转化为几何结论.

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v.

线线夹角：设直线l，m的夹角为θ0≤θ≤■，则cosθ=■.

线面夹角：设直线l与平面α的夹角为θ0≤θ≤■，则sinθ=■=cos〈a，u〉.

面面夹角：设平面α，β的夹角为θ（0≤θ≤π），则cosθ=■=cos〈u，v〉.

如图1，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点.

（1）求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值；

（2）求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.

思索 本题的两问都是求空间角的问题，且题设中存在两两垂直的“三垂线”，易于建立空间直角坐标系，采用坐标法求解. 第（1）问的线线角直接转化为两方向向量的夹角求解，但要注意线线角为锐角；第（2）问求面面角通过两平面的法向量求解，其中■为平面ACC1A1的一个法向量，另一个法向量可用待定系数法求出，最后代入公式即可.

破解 （1）以C为原点，CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1）. 所以■=（-2，0，1），■=（0，-2，-2）.？摇所以cos〈■，■〉=■=■=-■.即异面直线DC1与B1C所成角的余弦值为■.

（2）因为■=（0，2，0），■=（2，0， 0），■=（0，0，2），所以■·■=0，■·■=0，所以■为平面ACC1A1的一个法向量. 因为■=（0，-2，-2），■=（2，0，1），设平面B1DC1的一个法向量为n，n=（x，y，z）. 由n·■=0，n·■=0，得-2y-2z=0，2x+z=0，令x=1，则y=2，z=-2，n=（1，2，-2）. 所以可得cos〈n，■〉=■=■=■. 所以二面角B1-DC-C1的余弦值为■.

■ 如图2，在四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点.

（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；

（2）求证：PA⊥平面CDM；

（3）求二面角D-MC-B的余弦值.

思索 本题是一道常规的立体几何考题. 第（1）问较容易，可由面面垂直的基本知识，作出垂直于底面的垂线，从而得出直线PA与底面ABCD所成角；第（2）问要证直线PA与面CDM垂直，只要证线与面上两条相交直线垂直即可；第（3）问求二面角的平面角需通过三垂线定理寻求，有一定难度，比较好的方法是向量法，但因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角，所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或“补角”.

破解 （1）取DC的中点O，由△PDC是正三角形，有PO⊥DC. 又平面PDC⊥底面ABCD，所以PO⊥平面ABCD于O. 连结OA，则OA是PA在底面上的射影. 所以∠PAO就是PA与底面所成的角. 因为∠ADC=60°，由已知△PCD和△ACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=■，所以∠PAO=45°. 所以PA与底面ABCD所成角的大小为45°.

（2）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC. 建立空间直角坐标系如图3所示，则A（■，0，0），P（0，0，■），D（0，-1，0），B（■，2，0），C（0，1，0）. 由M为PB的中点，所以M■，1，■. 所以■=■，2，■，■=（■，0，-■），■=（0，2，0）. 所以■·■=■×■+2×0+■×（-■）=0，■·■=0×■+2×0+0×（-■）=0. 所以PA⊥DM，PA⊥DC. 所以PA⊥平面DMC.

（3）■=■，0，■，■=（■，1，0）. 令平面BMC的法向量n=（x，y，z），则n·■=0，从而x+z=0 ①；n·■=0，从而■x+y=0②. 由①②，取x=-1，则y=■，z=1. 所以可取n=（-1，■，1）. 由（2）知平面CDM的法向量可取■=（■，0， -■），所以cos〈n，■〉=■=■=■. 所以所求二面角的余弦值为-■.

■ 如图4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2■，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=■.

（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

（2）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；

（3）设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN⊥平面A1B1C1，求线段BM的长.

思索 棱柱是常考的多面体，高考中常常以侧放、倒立、拼接等形式给出，对空间想象能力的要求较高.但一般都存在线面垂直或面面垂直的关系，所以常用向量法求解. 注意到平面AA1B1B为正方形，为了易于相关点坐标的求出，也可建立点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所在直线为y轴的空间直角坐标系.

破解 以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所在直线为y轴建立空间直角坐标系. 由题意，B（0，0， 0），A（2■，0，0），C（■，-■， ■），A1（2■，2■，0），B1（0， 2■，0），C1

■ 如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2■，BC=6，P是线段AB上的动点，将此直角三角形沿CP折成直二面角A-CP-B.

（1）若翻折后直线BP⊥平面APC，求AP的长；

（2）若P为AB的中点，求翻折后直线PA与平面ABC所成角的正弦值；

（3）当P在线段AB上运动时，求翻折后AB的最短长度及此时点P的位置.

思索 折叠问题是高考经常考查的内容之一. 解决这类问题要注意对翻折前后线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较. 对某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题. 本题设问综合，需用到函数、三角、平面几何等知识. 处理时可尝试多种方法解决.

破解 （1）由题设，平面ACP⊥平面BCP，所以当BP⊥CP时，就有BP⊥平面APC，即点P为斜边AB高线的垂足，此时AP=■.

（2）当点P为AB中点时，可判定△APC为正三角形，过A作AE⊥CP于E点，则以E点为原点，EC为x轴，EA为z轴建立空间直角坐标系. 所以有E（0，0，0），A（0，0，3），C（■，0，0），P（-■，0，0）；又由相似比可求得B（-2■，3，0），所以■=（-2■，3，-3），■=（■，0，-3）. 设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），由n·■=0，n·■=0得-2■x+3y-3z=0，■x-3z=0.令z=1，则可得n=（■，3，1）. 设直线PA与平面ABC所成角为α，则sinα=cos〈■，n〉=■？摇=■.

（3）设∠ACP=θ，则∠BCP=90°-θ，所以AE=2■sinθ，CE2=2■·cosθ. 连结BE，在△BEC中，BE2=CE2+BC2-2CE·BC·cos（90°-θ），则AB2=AE2+EB2=12sin2θ+12cos2θ+36-12■sin2θ=48-12■sin2θ. 当sin2θ=1，即θ=45°时，AB的最小值为■，此时点P为AB与∠C的平分线的交点.

从近几年各地高考试题来看，立体几何题型大多为一个解答题，一至两个填空题或选择题，一般是中档题. 解答题多考查空间角，尤其是线面角和二面角，用向量法求解可化繁难为简易，几乎年年必考，一定要加强复习.

（1）要注意空间想象能力的培养. 可经常将文字语言、符号语言和图形语言进行相互转化，要能明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑地分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算.

（2）要重视知识与方法的归纳总结. 可依据课本，熟化知识，分门别类，构建空间思维网络. 复习时要抓主线，攻重点，针对一些重点内容加以训练，要明确线面垂直仍是空间角求解的核心，要重视线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化等，要多采用分析与综合相结合的方法寻求证题思路.

（3）应该明确高考中立体几何题是基础题、常规题，相对比较传统，难度较低，属于可做题的范畴，加强解题的严谨性训练很重要，每次做题都要力求书写规范、完整、流畅.