直线、平面垂直的判定与性质

本部分内容由直线与平面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质组成. 主要考查线线、线面、面面三种垂直关系的转化，以及垂直与平行关系的相互转化.

重点：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的简单命题.

难点：能否熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化.

1. 直线、平面垂直关系的基本思路

无论是线面垂直还是面面垂直都源自于线与线的垂直，即不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要. 在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.

2. 直线、平面垂直关系的基本方法策略

（1）利用判定定理.

（2）利用判定定理的推论.

（3）利用面面平行的性质.

（4）利用线面垂直的性质.

（5）利用面面垂直的定义.

（6）利用面面垂直的判定定理.

（7）线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即

这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，这种转化方法是本节内容的显著特征，掌握转化思想方法是解决空间图形问题的重要思想方法.

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）

A. 若a∥b，则α∥β

B. 若α⊥β，则a⊥b

C. 若a，b相交，则α，β相交

D. 若α，β相交，则a，b相交

思索 对这种结构的题目，常常做这样的处理：先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设. 立体几何中概念、定理、性质非常多，只有熟记了，理解了，做立体几何题才能又快又好，同时注意反例、反证法等方法的使用.

？摇破解 A正确. 因为a∥b，a⊥α，所以b⊥α. 又b⊥β，所以α∥β.

B正确. 设α∩β=l，在α内作c⊥l，因为α⊥β，所以c⊥β，又b⊥β，所以b∥c. 因为a⊥α，所以a⊥c，从而a⊥b.

C正确，若α，β不相交，则α∥β，因为a⊥α，所以α⊥β，又b⊥β，所以a∥b，这与a，b相交矛盾.

D是假命题，因为a，b可以是异面直线，易找出反例验证. 故选择D.

（2010辽宁卷文）如图1，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC■1B■1是菱形，B■1C⊥A■1B.

（1）证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；

（2）设D是A1C1上的点且A■1B∥平面B■1CD，求A1D∶DC1的值.

思索 （1）求证相关垂直问题时，一般遵循：线线垂直→线面垂直→面面垂直. 在论证线线垂直时，注意回忆平面几何中的相关垂直定理，以及利用线面垂直判定线线垂直等方法.

（2）论证线线垂直、面面垂直问题，均体现出立体几何证明的基本思想——将空间问题转化为平面问题.

破解 （1）因为侧面BCC■1B■1是菱形，所以B■1C⊥BC1. 又B1C⊥A■1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C⊥平面A■1BC■1.又B1C？奂平面AB1C，所以平面AB■1C⊥平面A■1BC■1.

（2）设BC1交B■1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线. 因为A1B∥平面B■1CD，所以A■1B∥DE.？摇又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1=1.

（2011新课标全国卷文）如图2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）证明：PA⊥BD；

（2）若PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高.

思索 空间中的线线垂直关系可转化为线面的垂直关系. 棱锥的高，可以先通过面面垂直，转化为线面垂直，得出高线，再转化到三角形内求解.

破解 （1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=■AD. 从而BD2+AD2=AB2，可得BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD，所以PA⊥BD.

（2）作DE⊥PB，垂足为E，已知PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由（1）知BD⊥AD，又BC∥AD，所以BC⊥BD. 所以BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC.？摇由PD=AD=1知BD=■，PB=2. 根据DE·PB=PD·BD，得DE=■，即棱锥D-PBC的高为■.

（2012北京卷文）如图3甲，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图3乙.

（1）求证：DE∥平面A1CB；

（2）求证：A1F⊥BE；

（3）线段A■1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由.

思索 证明空间中的线线垂直可转化为证明线面垂直. 考查直线与平面平行、直线与平面垂直关系的相互转化，考查空间想象能力和推理论证能力.

破解 （1）略.

（2）由已知得AC⊥BC，且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A■■D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A1F. 又A■1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE，所以A■1F⊥BE.

（3）线段A1B上存在点Q，可使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如图4，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由（2）知，DE⊥平面A■1DC，所以DE⊥A■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底边A■1C的中点，所以A■1C⊥DP. 因为DE∩DP=D，所以A■1C⊥平面DEP，从而A■1C⊥平面DEQ. 故线段A■1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

1.高考对空间线面关系的考查每年必有一道解答题，难度中低，大多数考生会做而得不到全分，往往因为推理不严密，跳步作答所致. 解题过程要表达准确，格式要符合要求，每步推理要有根有据. 计算题要有明确的计算过程，不可跨度太大，以免漏掉得分点，要养成良好的书写习惯.

2.正方体是立体几何中的一个聚宝盆，蕴涵线线、线面和面面等空间元素的位置关系，在定理的推证过程中离不开它，在论证或求解立体几何问题时，也常常在正方体中寻找反例或论证的依据.