为“立几”易错题号脉

1. 定义概念模糊

数学中的每个概念、定义、术语、符号都有明确、具体的含义. 对于概念、定义理解不透，内涵、外延把握不准确是导致概念型题目出错的主要原因. 比如线面（面面）平行（垂直）的判定定理和性质定理，正棱柱、正棱锥的判定都是容易考到的，也是同学们常常犯错误的地方.

2. 思维不慎密、思考不全面

立体几何中有很多问题需要分类讨论，如果没有分类或分类不全就会以偏概全导致错误. 比如线或者点的相对位置不确定，或者二面角的大小不能确定是钝角还是锐角时，就得分类讨论.

3. 主观臆断、缺乏论证

凭直觉判断或缺乏论证就下结论是同学们经常犯的毛病，这是学习立体几何的大忌. 比如同学们在求二面角时，直接从图或者自己的感觉，没有严密且合理的证明就指出某个角是二面角的平面角.

4. 缺乏空间想象力，缺少构造能力

立体几何中的题目都需要很强的空间想象力，当然也需要一定的构造能力，比如在球与多面体接、切问题中，经常需要构造相应的某种几何体的模型，然后利用这种几何体的性质和相应的方法解题，但是同学们经常因缺乏想象和构造能力而导致解题出错.

5. 忽视角的取值范围

立体几何中常考的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，它们的取值范围分别是：0，■、0，■、[0，π]. 同学们若在解题时，忽略了这些角的取值范围，便会出现很不应该的错误.

6. 空间向量法求空间角应注意以下几点

（1）求异面直线所成的角时，两个方向向量夹角的余弦值的绝对值为异面直线所成的角的余弦值；

（2）线面角的正弦值等于线的方向向量和面的法向量夹角余弦值的绝对值；

（3）二面角的余弦值大小与两个法向量的关系是：锐二面角取正值，钝二面角取负值.

下面关于三棱锥的四个命题，其中正确的是_______.

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角相等的三棱锥是正三棱锥；

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角相等的三棱锥是正三棱锥.

错解 ②③

剖析 误认为②③是正确的.因为正三棱锥满足②③，所以主观推测满足条件②③的三棱锥是正三棱锥；对于④，因为由三角形的内心、外心重合而没有推出其为正三角形，或者对正三棱锥的概念理解不透，对底面是正三角形、顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心这两个条件把握不准，而妄加判断.

正解 ①④

一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

错解 轴截面如图1所示，三角形ABS的高OS=R=1，底面边长AB=2，所以V=■·■AB2·OS=■×■×22×1=■，故选B.

剖析 缺乏空间想象力，对于球与多面体接、切问题应该考察轴截面（即球大圆所在的平面），从而找出球的半径和多面体之间的关系.

正解 轴截面如图2所示，高OS=1，由重心性质可得AD=■，所以底面边长AB=■，所以V=■·■AB2·OS=■×■×（■）2×1=■，故选C.

底面边长是2，高是1的正四棱锥的相邻两侧面的夹角的大小是多少？

错解 如图4，取PB中点M，连结AM，CM，OM，因为M为等腰三角形底边上的中点，所以AM⊥PB，同理，CM⊥PB，所以∠AMC是二面角A-PB-C的平面角，因为OP=1，OB=■，所以PB=■，则OM=■. 因为∠AMO=∠CMO，所以tan∠AMO=■=■，所以∠AMC=2∠AMO=2arctan■.

剖析 致错原因是对二面角的定位不对，没有从已知条件推理，而是凭视觉观察，主观臆断地认为PA=AB. 事实上，AB=2，PA=■，PA≠AB.

正解 如图5，连结PO，OB，（O是正方形ABCD的中心）. 在Rt△POB中，作OH⊥PB，垂足为H，连结AH，CH，进而可证得：AC⊥平面PBO和PB⊥平面AHC，所以∠AHC为二面角A-PB-C的平面角，所以tan∠AHO=■=■，所以∠AHC=■.

如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E，F分别为PC，CD的中点.

（1）试证：CD⊥平面BEF；

（2）设PA=k·AB，且二面角E-BD-C的平面角大于30°，求k的取值范围.

错解 （2）连结AC交BD于O，交BF于H，连结EO，EH，在四边形ABCD中，AC⊥BD. 因为BE=DE，O是BD中点，所以EO⊥BD，所以∠EOC为所求二面角. 因为H是AC中点，所以EH∥PA，所以EH⊥平面ABCD，且EH=■PA=■k·AB，而OH=■BH=■·AB，所以tan∠EOC=■=■=■k>■，所以k>■为所求范围.

剖析 此题的主要错误在于把四边形ABCD中的对角线AC与BD主观臆断地认为是垂直的，所以由三垂线定理得出∠EOH是二面角的平面角. 但事实上四边形ABCD是梯形，得不出AC⊥BD，所以应该另寻二面角的平面角.

正解 （2）连结AC交BF于G. 易知G为AC的中点. 连结EG，则在△PAC中易知EG∥PA. 又因PA⊥底面ABCD，故EG⊥底面ABCD. 在底面ABCD中，过G作GH⊥BD，垂足为H，连结EH. 由三垂线定理知EH⊥BD. 从而∠EHG为二面角E-BD-C的平面角. 设AB=a，可得出：GH=■a，EG=■ka，因此tan∠EHG=■=■=■k，由k>0知∠EHG是锐角，故要使∠EHG>30°，解之得：k的取值范围为k>■.