运用Stolz定理求解数列极限

陈莉敏,唐晓芙

本文介绍了用于求解数列极限的Stolz定理，并举例将定理进行了应用。

在数列极限求解的时候,有人会直接使用洛必塔法则。例如求数列的极限，若直接使用洛必塔法则，则有===0。可是，数列是没有导数的，因此，上述的做法是错误的。但是，计算这样一类的题，我们有类似于洛必塔法则的方法。现介绍如下。

定理1 （型Stolz定理）： 如果数列{yn}单调增加,且yn→+∞（n→∞）,它与数列{xn}一起满足存在（或无穷大）, 则=。

定理2 （型Stolz定理）： 如果数列{xn}{yn}满足yn-1＞yn＞0（n=1,2,…）,且xn=yn=0,存在（或无穷大）, 则=。

例1：求

解：由定理1，有==ln

=ln l=0.

例2：设an=a（a≠0），求证=（p∈N）.

证：令xn=a1+2p-1a2+3p-1a3+…+np-1an，yn=np,n∈N。

由定理1得：=====.

例3：求n（-arctan n）

解：n（-arctan n）=符合定理2的条件，

则式===

==-1.

（常州工程职业技术学院）