培养抽象概括能力,提高知识综合运用

郭美华

在中学数学教学中,除了要培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和自学能力外,我认为还要注意培养学生的数学概括能力和数学抽象能力。数学抽象概括能力是数学思维能力,也是数学能力的核心。它具体表现为对概括的独特的热情,发现在普遍现象中存在着差异的能力,在各类现象间建立联系的能力,分离出问题的核心和实质的能力,由特殊到一般的能力,从非本质的细节中使自己摆脱出来的能力,把本质的与非本质的东西区分开来的能力,善于把具体问题抽象为数学模型的能力等方面。现阶段数学抽象能力,是指出把生产或生活中遇到的实际问题,抽象为一个数学问题来解决的能力。它是我们常说的“分析问题和解决问题的能力”中最重要的部分,是数学本身的“高度抽象性与应用广泛性”辩证统一的必然结果。它的重要性是显而易见的。数学的抽象是一个逐级抽象、逐次提高,抽象再抽象的过程。数学教学中充分注意到这个特点,就能有效地培养学生的抽象概括能力。

从杂乱无章的现实世界中,由表及里,去伪存精,生活问题消化、溶解、提炼、抽象为一个数学问题来解决,却不是一件轻而易举的事。不同数学能力的学生有不同的差异。具有数学能力的学生在收集数学材料所提供的信息时,明显表现出使数学材料形式化,能迅速地完成抽象概括的任务,同时具有概括的欲望,乐意地、积极主动地进行概括工作。而现在学生中普遍存在怕解应用题的现象,就是缺乏这种能力的反映。

数学教学中如何培养学生的抽象概括能力呢？我们认为从以下几方面入手:

首先,教学中将数学材料中反映的数与形的关系从具体的材料中抽象出来,概括为特定的一般关系和结构,做好抽象概括的示范工作,要特别注意重视"分析"和"综合"的教学。应该注意从实例引入,通过实物(包括教具)直观、图象直观或语言直观,形成直观形象,提供感性材料,这是促进和发展学生抽象思维能力的有效途径。

例如,通过温度的升降,货物的进出口等实例,引进意义相反的量；通过观察教室里墙面与墙面的交线和墙面与地面的交线之间的关系,引进异面直线垂直的概念；在函数的教学中首先从学生熟悉的函数入手,引出函数传统定义,然后引导学生利用映射给出函数现代定义。尽量不让学生由于陌生而产生对新概念的恐惧。接着在进行两个概念的比较的时候又依托具体例子,化抽象为具体,较好地解决了这一问题。函数是抽象性很强的概念,为使学生比较容易地理解这一概念,我多次使用学生比较熟悉的生活中的实例来解释和理解函数的概念,同时也请同学自编一些函数题目,并把自己所编的函数题目解答清楚,这样可使抽象的问题具体化。

数学的抽象性还表现为广泛而系统地使用了数学符号,具有词语、词义、符号三位一体的特性,这是其它学科所无法比拟的。例如“平行”这个词,其词义是表示空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特定位置关系,有专门符号“//”表示,并可用具体图形表示。

为了培养和发展学生的抽象思维能力,教师的主要任务在于创设具体的数学情境,启发引导学生积极参与教学活动,防止包办代替。现今教材中对一个新的例题的证明,差不多全都是采用演绎法给出的,即从已知的概念、定理出发,通过逻辑推理,最后得到新的命题。这样便在一定程度上忽视了发展学生归纳、概括能力的训练和培养。但是,我们纵观科学史上重大的定理、定律的发现,往往都是先由猜想、假说,而最后才经证明而成为定论的。这些猜想、假说,一般都是科学家们从一些特殊的、偶然的、具体的事例中得到启发后提出的来的。因此,我们教师在讲课中就要有意识地弥补教材的这个缺陷。对学生要十分注意引导他们积极思维,大胆猜想,进行合理的总结推广,逐步培养他们从特殊的事例中概括出普遍性规律的能力。

其次,教学中将学生已有定理,公理,结论运用到实际中去,发挥知识的作用,进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力,这是从抽象到具体的一个“反刍”的过程。从抽象到具体是认识的又一个阶段,它是在从具体的感性认识上升到抽象的理性认识的基础上的又一次飞跃,它属于整个认识过程的更重要的階段,也就是应用数学理论去初步解决问题,使理性认识具体化的新阶段。

从抽象到具体,是让学生在掌握抽象的数学理论的基础上,用来解决具体的实际问题,并为进一步的从具体到抽象做好准备。解答数学题的过程,主要是抽象的数学理论的运用过程,是形成数学的相关技能的过程,同时,也是进一步培养和发展观察能力和分析、综合等逻辑思维能力的过程；在解答难度较大的数学题时,除了运用抽象理论外,还可能学到一些新的数学思想和方法,对于培养学生的创造性思维能力也有一定的作用。

教师可以配置一定数量生产、生活中的应用题,让学生从实践中领会把实际问题抽象为数学问题的思路与方法。如"复利公式"无论地计算细胞分裂、森林繁殖、人口增长、劳动生产率的提高、银行利息的计算等问题上都适用、是一类自然现象能把一些典型的数学模型告诉学生,这不单是给学生以解决实际问题一把通用的钥匙,而更重要的是通过对它们的介绍、叙述、求解,培养学生的数学抽象能力上能起示范性的作用。同时又能够将抽象的知识运用到实际中去,循环往复,不断地实施具体—— 抽象—— 具体,循环往复的过程,才能不断将学习向纵深发展,使认识逐步提高和深化。

数学抽象概括能力是一种综合能力,需要一个长期的培养过程,更需要学生的亲身参与,教师要在数学教学中通过设计恰当的教学模式,对学生抽象概括能力的培养施以积极的影响,切实地培养学生的抽象概括能力。“授人以鱼”只能满足一日之需；而“授人以渔”却能使人终生受用。同样,教给学生的思维方法能使他们终身受益。