浅析《张邱建算经》中的等差数列

2012-04-29 21:36赵菁菁
数学学习与研究 2012年13期
关键词:项数公差数学家

赵菁菁

《数列》这一章在中等职业教育课程改革国家规划新教材内容中,是一个知识的交汇点,有着承前启后的作用.教材中许多知识都与数列有着密切的联系.比如过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用.本章主要内容为数列的概念、等差数列、等比数列和数列的应用举例.数列在生产实际与日常生活中的应用范围很广,而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材.中外数学家很早就对数列问题有所心得,尤其中国数学家更是取得了辉煌的成就.

要想更多地了解中国古代数学家对各种数列问题的解决,一定不能错过的是《张邱建算经》.

张邱建,北魏清河(今邢台市清河县)人,著名的大数学家.

他从小聪明好学,酷爱算术,一生从事数学研究,造诣很深,著有《张邱建算经》三卷.后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书作了注释.刘孝孙为算经撰了细草.算经的体例为问答式,条理精密,文词古雅,是中国古代数学史上的杰作,也是世界数学资料库中的一份宝贵遗产.

《张邱建算经》现传本有92问,比较突出的成就是有关最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题的求解等.

下面的资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的,在抄录时,只选其中和等差数列有关的部分,以飨读者.

(一)今有户出银一斤八两一十二铢.今以家有贫富不等,令户别作差品,通融出之.最下户出银八两,以次户差各多三两,问户几何?

答曰:一十二户.

草曰:置一户出银两铢数,以最下户出银两铢数减之,余倍之.以差多两铢数加之为实.以差多两铢数为法.实如法而一.

注题目的意思是:平均每户应交纳税银一斤八两十二铢,即(16+8)×24+12=588(铢).(1斤=16两,1两=24铢)

因为贫富的差别所以每户交纳的税银也不一样,家最贫者交纳的税银最少为8两,即8×24=192(铢),其余每户交纳的税银越来越多,每户相差3两(公差为3两),即3×24=72(铢),问有几户?

算经的解法:“差多两铢数”就是公差.

户数=[(平均一户交纳税银数-最下户交税银数)×2+差多两铢数]÷差多两铢数=[(588-192)×2+72]÷72

=12.

分析用现在的数学语言解释,这是一个等差数列,已知首项a1=192,公差d=72,S璶=588n,求项数n.

(二)今有与人钱.初,一人与三钱;次,一人与四钱;次,一人与五钱;以次与之,转多一钱.与讫还敛聚与均分之人,人得一百钱.问人得几何?

答曰:一百九十五人.

术曰:置人得钱数以减初人钱数,余倍之,以转多钱数加之,得人数.

注题目的意思是:现在要发给一些人钱,给第一个人钱3,给第二个人钱4,给第三个人钱5,此后每人多发1钱.把钱分完之后,再收回来平均分配,这时每人得钱100.求人数.

算经的解法:“转多钱数”就是公差d.

人数=(平均每人得钱数-第一个人得钱数)×2+转多钱数=(100-3)×2+1

=195.

(此题与上题方法相同,只是省略了最后一步除以公差,因为公差为1,所以对结果无影响.)

分析用现在的数学语言解释,这是一个等差数列,已知a1=3,a2=4,a3=5,…,公差d=1,S璶=100n,求项数n.

(三)今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.问日益几何.

答曰:五寸二十九分寸之十五.

术曰:置今织尺数,以一月日而一,所得,倍之.又倍初日尺数,减之,余为实,以一月日数初一日减之,余为法,实如法得一.

注题目的意思是:有一个女子很会织布,一天比一天织得快,而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织5尺,经过一个月30天后,共织布九匹三丈,即(4×9+3)×10=390(尺).(1匹=4丈,1丈=10尺,1尺=10寸)问每天多织多少?

算经的解法:

每天多织的布数=[(现在的织布总数÷每月的日数)×2-(第一天织布尺数×2)]÷

(一月的天数-1)

每天多织的布数=[(390÷30)×2-(5×2)]÷(30-1)=16[]29(尺)=160[]29(寸)=515[]29(寸).

分析用现在的数学语言解释,这是一个等差数列,已知首项a1=5,项数n=30,前30项的和是S30=390,求公差d.

数列在生产实际与日常生活中的应用范围之广,在上述题目中已经得到了验证.学习这一章时教师可以充分利用这一点,使学生在获得知识的基础上,提高观察和思维能力,激发学生学习数学的兴趣,提高学生对数学的好奇心和求知欲,增强学好数学的自信心.同时了解一些中外杰出的数学家和数学成就,尤其是中国古代数学的辉煌成就,体会中国古代数学对世界数学发展的巨大贡献,激发学生的爱国热情,进一步培养和增强学生的民族自信心和民族自豪感.

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