浅析《张邱建算经》中的等差数列

赵菁菁

《数列》这一章在中等职业教育课程改革国家规划新教材内容中，是一个知识的交汇点，有着承前启后的作用.教材中许多知识都与数列有着密切的联系.比如过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用.本章主要内容为数列的概念、等差数列、等比数列和数列的应用举例.数列在生产实际与日常生活中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材.中外数学家很早就对数列问题有所心得，尤其中国数学家更是取得了辉煌的成就.

要想更多地了解中国古代数学家对各种数列问题的解决，一定不能错过的是《张邱建算经》.

张邱建，北魏清河（今邢台市清河县）人，著名的大数学家.

他从小聪明好学，酷爱算术，一生从事数学研究，造诣很深，著有《张邱建算经》三卷.后世学者北周甄鸾、唐李淳风相继为该书作了注释.刘孝孙为算经撰了细草.算经的体例为问答式，条理精密，文词古雅，是中国古代数学史上的杰作，也是世界数学资料库中的一份宝贵遗产.

《张邱建算经》现传本有92问，比较突出的成就是有关最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题的求解等.

下面的资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的，在抄录时，只选其中和等差数列有关的部分，以飨读者.

(一)今有户出银一斤八两一十二铢.今以家有贫富不等，令户别作差品，通融出之.最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何?

答曰：一十二户.

草曰：置一户出银两铢数，以最下户出银两铢数减之，余倍之.以差多两铢数加之为实.以差多两铢数为法.实如法而一.

注题目的意思是：平均每户应交纳税银一斤八两十二铢，即(16＋8)×24＋12＝588(铢).（1斤＝16两，1两＝24铢）

因为贫富的差别所以每户交纳的税银也不一样，家最贫者交纳的税银最少为8两，即8×24＝192（铢），其余每户交纳的税银越来越多，每户相差3两（公差为3两），即3×24＝72（铢），问有几户？

算经的解法：“差多两铢数”就是公差.

户数＝［(平均一户交纳税银数-最下户交税银数)×2＋差多两铢数］÷差多两铢数＝［(588-192)×2＋72］÷72

＝12.

分析用现在的数学语言解释，这是一个等差数列，已知首项a1＝192，公差d＝72，S璶＝588n，求项数n.

(二)今有与人钱.初，一人与三钱；次，一人与四钱；次，一人与五钱；以次与之，转多一钱.与讫还敛聚与均分之人，人得一百钱.问人得几何？

答曰：一百九十五人.

术曰：置人得钱数以减初人钱数，余倍之，以转多钱数加之，得人数.

注题目的意思是：现在要发给一些人钱，给第一个人钱3，给第二个人钱4，给第三个人钱5，此后每人多发1钱.把钱分完之后，再收回来平均分配，这时每人得钱100.求人数.

算经的解法：“转多钱数”就是公差d.

人数＝(平均每人得钱数-第一个人得钱数)×2＋转多钱数=(100-3)×2＋1

=195.

（此题与上题方法相同，只是省略了最后一步除以公差，因为公差为1，所以对结果无影响.)

分析用现在的数学语言解释，这是一个等差数列，已知a1＝3，a2＝4，a3＝5，…，公差d＝1，S璶＝100n,求项数n.

(三)今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.问日益几何.

答曰：五寸二十九分寸之十五.

术曰：置今织尺数，以一月日而一，所得，倍之.又倍初日尺数，减之，余为实，以一月日数初一日减之，余为法，实如法得一.

注题目的意思是：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的.已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈,即(4×9＋3)×10＝390（尺）.（1匹＝4丈，1丈＝10尺，1尺＝10寸）问每天多织多少？

算经的解法：

每天多织的布数=［（现在的织布总数÷每月的日数）×2-（第一天织布尺数×2）］÷

（一月的天数-1）

每天多织的布数=［（390÷30）×2-（5×2）］÷（30-1）＝16[]29（尺）＝160[]29（寸）＝515[]29（寸）.

分析用现在的数学语言解释，这是一个等差数列，已知首项a1＝5，项数n＝30，前30项的和是S30＝390,求公差d.

数列在生产实际与日常生活中的应用范围之广，在上述题目中已经得到了验证.学习这一章时教师可以充分利用这一点，使学生在获得知识的基础上，提高观察和思维能力，激发学生学习数学的兴趣,提高学生对数学的好奇心和求知欲，增强学好数学的自信心.同时了解一些中外杰出的数学家和数学成就，尤其是中国古代数学的辉煌成就，体会中国古代数学对世界数学发展的巨大贡献，激发学生的爱国热情，进一步培养和增强学生的民族自信心和民族自豪感.