由一道高考题看圆与椭圆的类比

张博

【摘要】类比推理是近几年高考的一个热点内容，既考查学生的推理论证能力，又考查学生的发散思维，进一步促进学生数学解题能力的提高，这样可以使较难的题目迎刃而解.本文通过一道高考题来看解析几何中圆与椭圆性质的类比.

【关键词】圆;椭圆;类比推理

近几年江苏省高考数学在解析几何方面的考查基本上坚持从圆与椭圆的性质入手，本文就圆与椭圆有关的性质类比试举几例与同学们共赏.

一、高考赏析

（江苏2011高考第18题（3））如图，在平面直角坐标系xOy中，MN分别是椭圆x2[]4+y2[]2=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.对任意的k>0，求证：PA⊥PB.

证明 设P(x1,y1）,〣（x2,獃2),则x1>0,x2>0，x1≠x2,A(-x1,-y1),〤(x1,0).

设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2，因为C在直线AB上，

ニ以k2=0-(-y1)[]x1-(-x1)=y1[]2x1=k[]2，

ゴ佣鴎1k+1=2k1k2+1=2y2-y1[]x2-x1·y2-(-y1)[]x2-(-x1)+1=2y22-2y21[]x22-x21+1=(x22+2y22)-(x21+2y21)[]x22-x21=4-4[]x22-x21=0，

因此k1k=-1，所以㏄A⊥PB.

点评 本题利用椭圆的性质使得过程较为简洁，实际上本题中椭圆具有如下性质：k〣A·k〣P=-1[]2，请同学们思考椭圆方程的a2,b2与直线BA,BP斜率乘积有何联系？是如何想到的呢？这是一种巧合吗？下面我们带着这些问题作进一步探究.

二、类比探究

唯物辩证法告诉我们：“任何事物的存在都不是孤立的，它必与其他事物有着必然的联系.”由平面几何圆的性质我们知道：（1）圆的直径所对的圆周角为直角，即圆上任意一点（除直径两端点外）与圆直径两端点的连线所在直线的斜率（设斜率存在）之积为定值-1.类比到椭圆能否得到：椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦的两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值呢？

解析 设A(x1,y1),P(x0,y0),则x1≠x0，B(-x1,-y1).

设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.

因为点A,P在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上，

所以y21=b2-b2x21[]a2，y20=b2-b2x20[]a2.

从而k1·k2=y0-y1[]x0-x1·y0-(-y1)[]x0-(-x1)=y20-y21[]x20-x21=b2-b2x20[]a2-b2-b2x21[]a2[]x20-x21=-b2[]a2.

结论1 椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上任意一点与经过椭圆中心的弦两个端点（除这两点外）的连线斜率（设斜率存在）之积为定值-b2[]a2.

三、探究延伸

圆与椭圆中是否还存在其他类似的结论，下面将圆中的类似性质类比到椭圆中，再进行探究.

（2）圆中：平分弦的直径垂直于弦.类比椭圆中：过椭圆中心平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率（设斜率存在）之积是否为定值呢？

解析 设A(x1,y1），B（x2,y2)，(x1≠x2,y1≠y2),中点㏄(x0,獃0).

因为点A,B在椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)即b2x2+a2y2=a2b2上,

所以b2x21+a2y21=a2b2,b2x22+a2y22=a2b2.

两式相减得：

゜2(x1+獂2)(x1-x2)+a2(y1+y2）（y1-y2)=0,

所以k〢B=y1-y2[]x1-x2=-b2[]a2·x1+x2[]y1+y2=-b2[]a2·1[]k㎡P.ゼ磌〢B·k㎡P=-b2[]a2.

结论2 过椭圆中心平分椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)弦的直线的斜率与弦所在直线的斜率（设斜率存在）之积是定值-b2[]a2.

ィ3）圆中：过切点的直径垂直于圆的切线.类比椭圆中：椭圆上任一点与椭圆中心的连线的斜率与该点处切线的斜率（设斜率存在）之积是否为一定值呢？

先看苏教版数学教材必修2第105页第7题：已知圆C的方程是x2+y2=r2，求证：经过圆C上一点㎝(x0,獃0)的切线方程是﹛0x+獃0y=r2.类比到椭圆我们能得到：过椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点M(x0,y0)的切线方程是x0x[]a2+y0y[]b2=1.（请同学们自行完成，提示应用导数的方法）

解析 设椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点M(x0,y0)，由上述结论可知：以点M为切点的切线斜率为k=-b2x0[]a2y0，又k㎡M=y0[]x0，所以k·k㎡M=-b2x0[]a2y0·y0[]x0=-b2[]a2.

结论3 椭圆x2[]a2+y2[]b2=1(a>b>0)上一点与椭圆中心的连线所在直线的斜率与该点处切线的斜率（设斜率存在）之积是定值-b2[]a2.把圆中的性质类比到椭圆中，在中学数学有着广泛应用，由于其性质和圆类似，所以应用十分方便.有兴趣的同学可以尝试能否把上述结论类比到双曲线和抛物线中呢？

四、创新赏析

如图,设点P是椭圆E:x2[]4+y2=1上的任意一点(异于左、右顶点A,B).设直线PA,PB分别交直线l:x=10[]3与点M,N,求证:㏄N⊥狟M.

证明 设P(x0,y0),由已知A(-2,0)，B(2,0),

设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2.

因为点P在椭圆x2[]4+y2=1上，

所以，y20=1-x20[]4.

从而k1·k2=y0-0[]x0-(-2)·y0-0[]x0-2=y20[]x20-4=1-x20[]4[]x20-4=-1[]4.

直线PA的方程为y=k1(x+2)，令x=10[]3，得M10[]3,16k1[]3.

所以k〣M·k2=16k1[]3-0[]10[]3-2·k2=4k1·k2=-1，

即㏄N⊥狟M.

用类比的观点学习数学，可使分散的知识得到集中，孤立的知识得到统一，这对于我们构建知识网络有着重要意义.

【参考文献】

吴玉梅.如何使得类比推理的结论更加合理.数学学习与研究，2011（17）.