两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接研究及应用

贺浩

【摘要】利用代数方法，探索了两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接条件，得出一个充要条件的结论，并利用结论给出了实例，结合玀ATLAB软件工具给出了球面和圆柱体沿截平面光滑拼接图形.

【关键词】代数曲面；光滑拼接；玀ATLABオ

1.引 言

设g1(x,y,z)=0,g2(x,y,z)=0分别为两个二次曲面，1989年，獼.Warren［1］给出了一个新的几何连续性定义：

定义1.1 设s(g1),s(g2)分别为过不可约空间曲线C的两个代数曲面，关于C上的GC琸连续，若存在

（1）s(g1),s(g2)于C上除有限个点外光滑；

（2）鯝,B∈C［x,y,z］于C上不恒等于0,使得Ag1,Bg2于C上的k阶偏微分商相等.

随着后来学者的研究，獹roebner基方法和吴方法的提出，国内外学者对于代数曲面之间的拼接进入一个新的阶段，有了如下的一些定理的出现.

定理1［1］ 设二次曲面S(g璱)与截平面S(h璱)交于不可约二次曲线，i=1,2,…,n，若存在多项式f，对于S(f)分别实现S(h璱)处与S(g璱)处实现GC琸拼接，则有

f∈∩∩…∩.(1.1)

并且f有表达式：

f=u璱g璱+a璱h﹌+1璱,i=1,2,…,n.(1.2)

其中玠eg(u璱)≤玠eg(f)-玠eg(g璱).

玠eg(a璱)≤玠eg(f)-(k+1).(1.3)

若存在这样的f，则S(f)分别与S(g璱)在S(h璱)上GC琸光滑拼接的条件就是当u璱在S(g璱,h璱)上不恒为零.

獼.Warren给出的结论给我们提供了很好的解决方法，理论上可以求出阶数很高的光滑拼接，但是由于涉及大量的计算问题，不容易处理，在实际应用中，对其要求也很低，希望过渡曲面是一个低次的曲面，吉林大学和西南交通大学的学者［3］对在控制曲面存在的情况下的低次拼接作出了理论研究，1994年，我国数学家吴文俊先生研究了两个轴互相垂直的管道，在3次GC1光滑拼接曲面存在的条件.广大学者之后展开了对特殊情况下的代数曲面低次拼接条件的探求.

本文主要是对两个二次代数曲面的3次GC1阶拼接条件的探讨和应用.

2.三次拼接曲面存在的充要条件计算

现在我们研究建立在两个二次代数曲面上的3次GC1光滑拼接条件，设两个代数曲面方程为：

g璱(x,y,z)=a﹊1獂2+a﹊2獃2+a﹊3獄2+a﹊4獂y+a﹊5獃z+a﹊6獂z+a﹊7獂+a﹊8獃+a﹊9獄+a﹊0=0(i=1,2).

从定理1知道，得到的过渡曲面f满足f∈∩.

f=m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.（2.1）

截平面方程为：

h璱(x,y,z)=c﹊1獂+c﹊2獃+c﹊3獄+c璱=0(i=1,2).（2.2）

由式（1.3）知：

玠eg(m璱)≤玠eg(f)-玠eg(g璱)=3-2=1,玠eg(n璱)≤┆玠eg(f)-(1+1)=3-2=1.

设m璱，n璱分别为下式：

m璱(x,y,z)=m﹊1獂+m﹊2獃+m﹊3獄+m﹊4=0(i=1,2),

n璱(x,y,z)=n﹊1獂+n﹊2獃+n﹊3獄+n﹊4=0(i=1,2).（2.3）

将（2.2）（2.3）代入m璱g璱+n璱h2璱中得：

m璱g璱+n璱h2璱=(m﹊1猘﹊1+n﹊1猚2﹊1)x3+(m﹊2猘﹊2+n﹊2猚2﹊2)y3+(m﹊3猘﹊3+n﹊3猚2﹊3)z3+(m﹊1猘﹊4+m﹊2猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚﹊2+n﹊2猚2﹊1)x2y+(m﹊1猘﹊6+m﹊3猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚﹊3+n﹊3猚2﹊1)x2z+(m﹊1猘﹊2+m﹊2猘﹊4+2n﹊2猚﹊1猚﹊2+猲﹊1猚2﹊2)y2x+(m﹊2猘﹊5+m﹊3猘﹊2+2n﹊2猚﹊2猚﹊3+n﹊3猚2﹊2)y2z+(m﹊1猘﹊3+m﹊3猘﹊6+2n﹊3猚﹊1猚﹊3+n﹊1猚2﹊3)z2x+(m﹊2猘﹊3+m﹊3猘﹊5+2n﹊3猚﹊2猚﹊1+猲﹊2猚2﹊3)z2y+(m﹊1猘﹊7+m﹊2猘﹊1+2n﹊1猚﹊1猚璱+n﹊4猚2﹊1)x2+(m﹊2猘﹊8+m﹊4猘﹊2+2n﹊2猚﹊3猚璱+n﹊4猚212)y2+(m﹊3猘﹊9+m﹊2猘﹊1+2n﹊3猚﹊3猚璱+猲﹊3猚2﹊3)z2+(m﹊1猘﹊8+m﹊2猘﹊7+m﹊4猘﹊4+2n﹊1猚﹊3猚璱+2n﹊4猚﹊1猚﹊2+2n﹊2猚﹊1猚璱)xy+(m﹊2猘﹊9+m﹊3猘﹊8+m﹊4猘﹊5+2n﹊2猚﹊3猚璱+2n﹊3猚﹊3猚璱+2n﹊4猚﹊2猚﹊3)yz+(m﹊1猘﹊9+m﹊3猘﹊7+m﹊4猘﹊6+2n﹊1猚﹊3猚璱+2n﹊3猚﹊1猚璱+2n﹊4猚﹊1猚﹊3)xz+(m﹊1猘﹊5+m﹊2猘﹊6+m﹊3猘﹊4+2n﹊1猚﹊2猚﹊3+2n﹊2猚﹊1猚﹊3+2n﹊3猚﹊1猚﹊2)xyz+(m﹊1猘﹊0+m﹊4猘﹊7+n﹊1猚2璱+2n﹊4猚﹊1猚璱)x+(m﹊2猘﹊0+m﹊4猘﹊8+n﹊2猚2璱+2n﹊4猚﹊3猚璱)y+(m﹊3猘﹊0+m﹊4猘﹊9+n﹊3猚2璱+2n﹊4猚﹊3猚璱)z+m﹊4猘﹊0+n﹊4猚2璱.

由（1.2）知：m1g1+n1h21=m2g2+n2h22.要使其成立，即使上式的x,y,z为未知数的等式系数相等，故可以得到一个关于

m﹊1,m﹊2,m﹊3,m﹊4,n﹊1,n﹊2,n﹊3,n﹊4(i=1,2)的系数方程式，如下：

(m11猘11+n11猚211)-(m21猘21+n21猚221)=0，

(m12猘12+n12猚212)-(m22猘22+n22猚222)=0，

(m13猘13+n13猚213)-(m23猘23+n23猚223)=0,

(m14猘10+n14猚21)-(m24猘20+n24猚22)=0,

(m11猘14+m12猘11+2n11猚11猚12+n12猚211)-(m21猘24+m22猘21+2n21猚21猚22+n22猚221)=0.

(m11猘16+m13猘11+2n12猚11猚13+n13猚211)-(m21猘26+m23猘21+2n21猚21猚23+n23猚221)=0.

(m11猘12+m12猘14+2n12猚11猚12+n11猚212)-(m21猘22+m22猘24+2n22猚21猚22+n21猚222)=0.

(m12猘15+m13猘12+2n12猚12猚13+n13猚212)-(m22猘25+m23猘22+2n22猚22猚23+n23猚222)=0.

(m11猘13+m13猘16+2n13猚11猚13+n11猚213)-(m21猘23+m23猘26+2n23猚21猚23+n21猚223)=0.

(m12猘13+m13猘15+2n13猚12猚11+n12猚213)-(m22猘23+m23猘25+2n23猚22猚21+n22猚223)=0.

(m11猘17+m12猘11+2n11猚11猚1+n14猚211)-(m21猘17+m22猘21+2n21猚21猚2+n24猚221)=0.

(m12猘18+m14猘12+2n12猚13猚1+n14猚212)-(m22猘28+m24猘22+2n22猚23猚2+n24猚222)=0.

(m12猘18+m14猘12+2n12猚13猚1+n14猚212)-(m22猘28+m24猘22+2n22猚23猚2+n24猚222)=0.

(m13猘19+m12猘11+2n13猚13猚1+n13猚213)-(m23猘29+m22猘21+2n23猚23猚2+n23猚223)=0.

(m11猘18+m12猘17+m14猘14+2n11猚13猚1+2n14猚11猚12+2n12猚11猚1)-(m21猘28+m22猘27+m24猘24+2n21猚23猚2+2n24猚21猚22+2n22猚21猚2)=0,

(m12猘19+m13猘18+m14猘15+2n12猚13猚1+2n13猚13猚1+2n14猚12猚13)-(m22猘29+m23猘28+m24猘25+2n22猚23猚2+2n23猚23猚2+2n24猚22猚23)=0,

(m11猘19+m13猘17+m14猘16+2n11猚13猚1+2n13猚11猚1+2n14猚11猚13)-(m21猘29+m23猘27+m24猘26+2n21猚23猚2+2n23猚21猚2+2n24猚21猚23)=0,

(m11猘15+m12猘16+m13猘14+2n11猚12猚13+2n12猚11猚13+2n13猚11猚12)-(m21猘25+m22猘26+m23猘24+2n21猚22猚23+2n22猚21猚23+2n23猚21猚22)=0,

（m11猘10+m14猘17+n11猚21+2n14猚11猚1)-(m21猘20+m24猘27+n21猚22+2n24猚21猚2)=0,

（m12猘10+m14猘18+n12猚21+2n14猚13猚1)-(m22猘20+m24猘28+n22猚22+2n24猚23猚2)=0,

（m13猘10+m14猘19+n13猚21+2n14猚13猚1)-(m23猘20+m24猘29+n23猚22+2n24猚23猚2)=0.

以上得到一个关于m﹊1,m﹊2,m﹊3,m﹊4,n﹊1,n﹊2,n﹊3,n﹊4(i=1,2)这16个未知数，20个独立方程组成的齐次线性方程组.其系数是关于g璱,h璱(i=1,2)中系数常量.设上式的系数矩阵为M，若要上式存在非零解，则M的秩小于16.

结论 两个二次代数曲面沿平面截口的3次GC1拼接时，3次拼接曲面存在的充要条件是上述齐次线性方程组的系数组成的矩阵M的秩小于16.

3.三次拼接曲面存在的应用

我们给出一个球面方程和一个圆柱方程：

g1(x,y,z)=x2+y2+z2-4,g2(x,y)=x2+y2-1.（3.1）

其对应的截平面分别是：

h1=z-1,h2=z-2.（3.2）

经过将对应系数代入上述齐次线性方程组和（2.1），得到一个满足三次拼接条件的一个低次曲面f(x,y,z)=-2z3+x2+y2+8z2-8z-1=0.

通过玀ATLAB软件的计算实现了3次光滑拼接，如图所示：

拼接效果图

4.小 结

本文探讨了实现3次GC1阶拼接的充要条件，并进行了实例演示，从图上可以看到，拼接曲面将圆柱体和球面实现了光滑拼接，从而说明了3次GC1阶低次拼接的可取性和合理性.

ァ静慰嘉南住开

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