函数的数学期望在解题中的应用

张秀海

【摘要】本文先引用了一个定理，接着通过两个例子阐述了函数的数学期望在一些期望求解问题中的应用能够大大简化其解题过程.

【关键词】随机变量;函数;数学期望オ

在实际应用中，常常需要求随机变量函数的数学期望.例如，Y=g(X)，要求E(Y)，我们可以不必求出Y的分布，而直接由X的分布来求E(Y).

定理 设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)（g为连续函数）.

（1）设Ｘ为离散型随机变量，其分布律为

p{X=x璳}=p璳,k=1,2,….

若级数А啤轠]k=1g(x璳)p璳绝对收敛，则有

E(Y)=E［g(X)］=А啤轠]k=1g(x璳)p璳.

（2）设Ｘ为连续型随机变量，其概率密度为f(x).

若积分А要+∞-∞g(x)f(x)玠玿绝对收敛，则有

E(Y)=E［g(X)］=А要+∞-∞g(x)f(x)玠玿.

这个定理说明在求Y=g(X)的数学期望时，只需知道X的分布即可.这使得许多题目的解题过程大为简化.

例1 设二维随机变量（X,Y)的概率密度为

f(x,y)=Ax(1+3y2),0

0, 其他.

求A，E（X）和EY[]X.

解 由А要+∞-∞∫+∞-∞f(x,y)玠玿玠珁=1，即А要10∫20Ax(1+3y2)玠玿玠珁=1，得A=1[]4，所以

f(x，y)=1[]4x(1+3y2),0

0, 其他.

故所求数学期望分别为

E（X）=А要+∞-∞ИА要+∞-∞xf(x,y)玠玿玠珁=おА要10∫201[]4x2(1+3y2)玠玿玠珁=4[]3，

EY[]X=А要+∞-∞ИА要+∞-∞y[]xf(x,y)玠玿玠珁=А要10∫201[]4y(1+3y2)玠玿玠珁=5[]8.

例2 设总体X的概率密度为

f(x)=1[]2σe-|x|[]σ,-∞<﹛<∞,

其中σ>0是未知数.设X1,X2,…,X璶为总体X的样本.

（1）求参数σ的最大似然估计量；

（2）判断是否为σ的无偏估计量.

解 （1）设x1,x2,…,x璶是X1,X2,…,X璶的观测值，则似然函数

L=А莕[]i=11[]2σe-|x|[]σ=1[]2σ琻e┆-1[]σ∑n[]i=1|x璱|,

取对数，得

玪n獿=-n玪n2σ-1[]σА苙[]i=1|x璱|.

令玠ln獿[]玠σ=0，得=1[]nА苙[]i=1|x璱|，

σ的最大似然估计量为=1[]nА苙[]i=1|x璱|.

（2）设随机变量Y=|X|，则

E(Y)=E(|X|)=А要+∞-∞|x|1[]2σe-|x|[]σ玠玿=2А要+∞0x1[]2σe-x[]σ玠玿=σ，

所以E()=E1[]n∑n[]i=1|X璱|=E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)=σ,

即是σ的无偏估计量.

在例1中，如果依常规思路按照连续型随机变量数学期望的定义E(X)=А要+∞-∞獂f(x)玠玿В则在求解EY[]X时，需先知道随机变量Z=Y[]X的概率密度，这将使得问题大大地复杂化，而随机变量函数的数学期望在此处的应用使得解题简单明了.同理，在例2中，在解第（2）问时，依常规思路按应先求的概率密度，这是十分不容易的，此处先应用随机变量函数的数学期望知道E(Y)=E(|X|)=σ是定值，再利用数学期望的性质E∑n[]i=1X璱=∑n[]i=1E(X璱)有E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)，进而E()=E1[]n∑n[]i=1|X璱|=E1[]n∑n[]i=1Y璱=1[]n∑n[]i=1E(Y璱)=σ.通过这两个例子，我们可以总结：在求解期望的问题中，如果依常规思路概率密度不容易求解，就可以尝试应用函数的数学期望来求解问题.

【参考文献】

［1］周圣武.概率论与数理统计（第二版）.北京：煤炭工业出版社，2007：95-98.

［2］王雪琴.随机变量的函数的数学期望.渭南师范学院学报，2002，17（2）:47-48.