函数(图像)与方程(曲线)的水乳交融

孙艳华

【摘要】方程与函数在数学中是两个不同的概念,但是这两个互不相同的概念是密切关联、相互渗透的，在一定条件下它们是可以互相转化的.函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.两种思想的相互利用，对所研究的问题往往能达到化难为易、化繁为简的目的.

【关键词】函数与方程的思想；相互转化和利用；指导数学实践活动オ

方程与函数在数学中是两个不同的概念，但是这两个概念是密切关联、相互渗透的，在一定条件下它们是可以互相转化的.

当函数关系可用解析式(公式法)去表示时，即形成了函数解析式，或函数式y=f(x).从形式上看，函数式和方程式都是由代数式组成的，都含有x和y.方程可看作是函数解析式在某一特定函数值的解，表示特定的因变量的自变量解.其中函数y=f(x)的零点，即当y=0时，f(x)=0，得出x，就转化为方程f(x)=0，亦即求函数f(x)=0的零点，也就是求函数f(x)=0的图像与x轴（直线y=0）交点的横坐标；方程f(x)=0若有实数根，推出函数y=f(x)的图像与x轴有交点，函数y=f(x)有零点.当把函数式y=f(x)变换为f(x)-y=0时，函数转化为二元方程.

函数与方程的相互联系和相互转化，提供了用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，即函数方程思想，形成解决问题的一种思维方式，使许多表面上看似孤立、分散的数学知识在本质上得到统一，从而很多函数的问题转化为方程的知识和方法解决，很多方程的问题也可以用函数的思想方法去解决，往往能够达到化难为易、化繁为简的目的，这样既有利于学生对这些知识的掌握，也有利于知识的灵活运用.

例如，解方程玪g玿+x2=0，若按照初等变换来解是行不通的，像这样的方程可通过求函数y=玪g玿图像与函数y=-x2图像交点的横坐标，则可得到其近似解.

例１ 已知实数x,y满足x2+y2-2y-1=0.

（１）求x2+y2的最大值和最小值；

（２）求x2-y2的最大值和最小值

分析 首先，x2+y2-2y-1=0表示的图形是圆.设﹖=獂2+y2(或t=x2-y2)，则t可以转化为关于y的函数，从而可转为求函数的最值问题.

解 （１）x2+y2-2y-1=0化为x2+(y-1)2=2，表示圆心在C(0,1)，半径r=2的圆.

设t=x2+y2，由x2+y2-2y-1=0得x2+y2=1+2y，即t=1+2y，这是一个关于y的一次函数，由于y∈［1-2，1+2］，所以当y=1+2时，t┆玬ax=3+22；当y=1-2时，t┆玬in=3-22.

（２）设t=x2-y2，则t=x2-y2=-2y2+2y+1=-2y-1[]22+3[]2，故当y=1[]2时，x2-y2的最大值为3[]2；当y=1-2时，x2-y2的最小值为-3-22.

例2 作函数y=4-x2（或函数y=4+x2）的图像.

解 将函数式做平方变换后变成y2=4-x2(或y2=4+獂2)，进而有x2+y2=4（或y2-x2=4），这正是我们所熟悉的圆的方程或双曲线方程，这是在曲线与方程那部分知识中学过的曲线，进而得知函数图像的形状，如图所示.

这里需要说明的是，函数与方程毕竟是两个不同的概念，在对两者进行相互转化过程中要注意二者本身各自的特殊性，切忌盲目变换，忽视各自领域里应用的局限性.虽然得出我们所熟悉的图像，由于在对函数式做平方变换时，将原来函数的值域范围给扩大了，所以函数图像应表示圆x2+y2=4（或双曲线y2-x2=4）中的一部分，而不是全部.

除了考虑变换中定义域或值域以外，有些题目可能还需要进行坐标变换方能与我们所学过的熟悉的知识靠近.

例3 作出y=1+2x-1的图像.

解 由已知函数式变换得：

y-1=2x-1.

进行坐标变换，x′=x-1[]2

y′=y-1，有﹜′2=2x′，这是抛物线的方程.不难得出它是以直线y=1为对称轴，顶点在㎡′1[]2,1，焦点F′(1,1)，开口向右的抛物线的上半部分.

对于函数y=1[]24-x2的图像，同样经过变换转化为方程x2+4y2=4后，得知它是椭圆x2+4y2=4在x轴的上半部分.用曲线方程思想解决函数图像问题得以体现，也体现了数学中转化的思想.

通过以上分析，一般地，对于形如y=kax+b+m（其中a,b,k,m为常数，ax+b>0）或y=m+kax2+bx+c（其中a,b,c,k,m为常数，ax2+bx+c>0）的函数来说，经过平方变换后转化为二元二次方程，其图像都是我们所熟知的二次方程的曲线中的一部分，或圆锥曲线上的一部分，进而得知函数的图像.

函数与方程的思想是数学的重要思想之一，不仅有利于学生深刻地理解和实际应用所学数学知识，而且有利于学生了解数学发展的规律，对于培养良好的思维品质具有积极的促进作用.教师在教学中要不失时机地及时向学生灌输、渗透数学思想方法，将数学思想方法和数学知识并举，成为数学教学的重要内容之一，使学生牢固树立数学思想方法，以充分发挥数学思想方法的活力，支配着数学的实践活动.