例谈化归法例谈化归法

何昊 韦华全 梅述兵

【摘要】化归方法是中学数学一种重要的数学思想方法.把未解决的问题，通过某种转化，归结为一类比较容易解决的问题中去，获得原问题解答的一种手段和方法.应用化归方法解题常常分为两步：第一步解决原问题的一个特殊情况.第二步将原问题化归为特殊问题.

【关键词】化归原则；化归方法；化归应用オ

一、引 言

匈牙利著名数学家罗莎·彼得(Rosza Peter)在她的名著《无穷的玩艺》一书中写过这样一个有趣的事例:“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧水，你应当怎样去做？”正确的回答是：“在水壶中放上水，点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上.”接着罗莎又提出第二个问题：“假设所有的条件都不变，只是水壶中已有了足够的水，这时你应该怎样去做?”对此，人们往往回答说：“点燃煤气，再把壶放到煤气灶上.”但罗莎认为这并不是最好的回答，因为“只有物理学家才这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称我已经把后一问题化归成先前的问题了”.

二、化归的定义

“化归”，从字面上看，可理解为转化、归结的意思.数学方法论中所论及的“化归”方法是指数学家们把所要解决的原有问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*的求解，把解得的结果作用于原有问题，从而使原有问题得解.这种解决问题的方法，我们称之为化归法.

利用化归法解决问题的过程可以简单地用框图表示（见右图）.

三、化归的应用

1.通过条件的变换实现化归

例1 大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了一个有趣的问题.书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”

这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头,从下面数有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？

解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双┙磐谩.

这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；

（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1.

因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）.

显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了.

2.通过问题的变换实现化归

例2 在边长为4的正方形内，任意放置5个点，求证其中必存在两个点，它们之间的距离不大于22.

分析 首先我们注意到距离22这个数值，它使我们联想到边长为2的正方形的对角线长.在边长为2的正方形中，任意两点间的距离都不大于对角线的长22.从而原问题可转化为：证明在原条件下，至少有两个点落在同一个边长为2的正方形中.如图，我们将边长为4的正方形分成四个边长为2的正方形，从而问题又转化为：在图中的四个边长为2的正方形中放置5个点，至少有两个点在同一个正方形内（含边界）.而这个问题是直观明确的，因而问题得证.

3.通过图形变换实现化归

例3 已知矩形的面积公式,求：

（1）平行四边形的面积公式；

（2）三角形面积公式；

（3）多边形面积公式.

分析 （1)由于掌握了矩形的面积公式,因而可以应用割补法,将鰽BCD转化为与之等级的矩形AEFD,从而得到平行四边形的面积公式（图（玜））.

（2）由（1）得到平行四边形的面积公式，于是应用拼接法，将一个与已知△FGH全等的三角形与之拼接成平行四边形FGHK，从而得到三角形面积公式（图（玝））.

(3）由(2）我们知道了三角形的面积公式，于是将多边形分割为若干个三角形，各三角形的面积之和即为多边形的面积（图（c））.

4.通过数量关系的变换实现化归

例4 已知△ABC的三边为a，b，c，且a2+b2+ヽ2=゛b+猘c+bc，试判断△ABC的形状.

解 ∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,

∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc.

即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.

∴a=b，a=c，b=c.

∴△ABC为等边三角形.

四、化归的作用

1.化生疏为熟悉

数学的习题是海量的，没有人可以做完所有的题目.对于碰到的那些表面上生疏的习题，我们先不要埋头解题，而是想想可不可以运用化归的思想，将它们转化为我们熟悉类型的题目，多回想，多联系，不经意间或许你会有新的发现.

2.化复杂为简单

大厦，不是一夜而起，它需要用砖一块一块堆积起来.对于那些复杂的数学问题，它也是由简单的问题结合在一起产生的.我们可以利用化归的思想，反其道而行，将难题抽丝剥茧，转化为一个个简单的问题，最终通过解答每一个简单的小问题，从而达到解决难题的目的.

3.化抽象为直观

抽象——数学最美的地方，正因为这个最美，让很多学生苦恼不堪，甚至使学生丧失了对数学的热爱.对于那些抽象的问题，学生从内心上就开始畏惧，更别谈如何解决这些抽象的问题.然而化归的思想应用，可以让我们在抽象与直观之间架设了一座桥梁，将抽象化为直观，降低解题的难度.

五、化归方法解题的注意点

1.牢固掌握基础知识是运用化归方法解题的基础

数学基础知识扎实、知识结构完整是实现顺利化归的基础.只有牢固的基础知识作为依托，才可以在解题的过程中灵活地转化，不至于思维堵塞、混乱.

2.注意化归的等价关系，保证逻辑上的正确性

化归包括等价化归和非等价化归.等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果.

3.注意化归的多次性与多向性

化归的过程往往是复杂的，主要表现在多次性与多向性两方面，多次性即从原问题的化归并不总是一步就到位的，往往需要经过问题Ⅰ、问题Ⅱ……

结 论

化归方法是一种重要的数学思想方法，也是一种分析问题解决问题的基本思想方法.在解题过程中，我们有意识地运用这种思想，这对解题能力、思维能力的提高起到重要的作用但并非万能的方法，并不是所有的问题都可以通过化归得到解决的.化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的.因此，我们不能停留在化归的分析，而必须有创新的精神，不断地进行新的研究，在研究中获得新方法、新理论.

【参考文献】オ

［1］陈鼎兴.数学思维与方法——研究式数学［M］.南京:东南大学出版社,2001.

［2］郑毓信.数学方法论［M］.桂林：广西教育出版社,1996.

［3］郑隆忻,毛鄂涴.数学思维与数学方法论概论［M］.武汉：华中理工大学出版社,1997.