新课程下高中数学解题中的化归方法教学探析

李长伟

数学解题中的化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将未知问题通过变换使之转化归结为已知的数学问题，进而达到解决问题的一种方法.一般地，是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题，甚至转化为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决.

目前解题教学中，教师关心的往往是每个题目的各种不同方法的解答或证明，一个例题总要给好几种解法，结果对同一问题的解法越来越多，也越来越巧，教师备课时就不再是认真地仔细钻研教材，落实好教材中所体现的通用解法，而是翻阅各种复习资料、杂志去寻求巧法妙解，无形中忽视了基本技能、基本方法的训练，削弱了对数学基本思想方法的启迪和训练.

一、挖掘教材中实现化归方法的因素

数学思想是教材体系的灵魂，它支配着整个教材.化归思想方法融入数学教材的基础知识之中，并不像定义、定理、公式、法则那样具体.由于教材逻辑体系的限制，不能完整地表达数学知识中的化归思想方法，教师要把隐含于具体知识中的化归思想方法明朗化、清晰化，这样既有利于教师的教也有利于学生学习掌握.化归方法在高中数学教材中出现的频数相当大，渗透在高中阶段的代数、几何的教学中.

在立体几何中，定义、定理及问题的解决基本体现、应用了化归思想.化归的手段常常是通过平移、旋转、作截面、侧面展开等，将空间问题转化为平面内的问题而加以解决.在代数中，如解方程问题，无论是无理方程、指数方程、对数方程，还是分式方程，都是通过同解变形转化为一元一次方程或一元二次方程后求解的；不等式的处理也是如此，把高次不等式、分式不等式、无理不等式转化为一元一次或一元二次不等式来求解；又如复数间的运算是转化为实数间的运算来进行的.

二、明确转化原理，把握转化策略

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的.要实施转化，首先须明确转化的一般原理（化归的一般模式），掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习.

一般来说，实施化归的一般步骤为：

①根据问题结构，分析解决问题的难点，确定转化目标，寻求新的问题情境.

②将问题的条件、结论等价地转化到新的情境中（特殊情况可以进行非等价转化）.

例 求玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°的值.

转化一 从基本等式入手，利用和角的三角展开式，通过恒等变形求解.

化归一（综合法）

∵玞os40°=玞os（30°+10°）=3[]2玞os10°-1[]2玸in10°，

∴玞os40°+1[]2玸in10°=3[]2玞os10°.①

①式平方，得：玞os240°+1[]4玸in210°+玸in10°玞os40°=┆3[]4cos210°.

∴玸in210°+玸in10°玞os40°+玞os240°=3[]4.

注 这种方法运算量小，便于理解，具有一般性.

转化二 从乘法公式、三倍角公式的变形运用出发求解.

化归二（添分母凑式法）

由玸in3α=3玸inα-4玸in3α，玞os3α=3玞osα-4玞os3α,

得玸in3α=1[]4（3玸inα-玸in3α），玞os3α=1[]4（3玞osα-玞os3α）.

∴原式=（玸in10°-玞os40°）（玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°）[]玸in10°-玞os40°

=玸in310°-玞os340°玔]玸in10°-玞os40°=3[]4.

注 这种代数恒等变形与三角恒等变形相结合，不但起到了降幂化简的作用，同时体现了数学解题美，有利于提高学生灵活运用公式的解题能力.

转化三 考虑到玞os40°=玸in50°，又10°+50°+120°=180°，以10°,50°,120°为内角构造三角形，由正、余弦定理可以求解.

化归三 设10°,50°,120°角的对边分别为a,b,c，外接圆半径为R，由正弦定理有：

a=2R玸in10°，b=2R玸in50°，c=2R玸in120°=3R.

由余弦定理得：

（3R）2=4R2玸in210°+4R2玸in250°-2（2R）2玸in10°·玸in50°玞os120°，

3=4玸in210°+4玞os240°+4玸in10°玞os40°.

∴玸in210°+玸in10°·玞os40°+玞os240°=3[]4.

注 此种方法数形结合，思路别开生面.

通过一题多解、触类旁通，或一题多变、举一反三，进行有效的变式教学既是我国数学教学的一个优良传统，也是新课程背景下化归方法的重要途径.

三、注意转化的多样性，设计合理的转化方案

在转化过程中，同一转化目标的达到，往往可能采取多种转化途径和方法.因此研究设计合理、简捷的转化途径是十分必要的，必须避免什么问题都死搬硬套，造成繁难不堪.

例3 求证：对任何矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形A与矩形B的周长比与面积比都等于常数k(k≥1).

分析 对这个比较复杂的问题，如果仅从问题本身出发，无疑要用几何方法来证明，如果这样做，结果会让人大失所望.所以该用代数方法证明.假设矩形A和B的长和宽分别为a,b及x,y，为证明满足要求的矩形B存在，只要证明方程组x+y=k(a+b)，

xy=kab有正实数解即可.这样实现了从方法的转换到目标的转换，使得原问题变得简单明了.这个例子说明设计合理转化方案的重要性，目标的转换与方法转换是相辅相成又互相制约的，但其目的却是一致的，那就是通过化归达到以简驭繁的最终目的.