如何培养高中生数学思维能力

王晓兰

摘要： 高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.本文从四个方面阐述教学中如何培养学生的数学思维，提高学生的数学思维能力.

关键词： 高中数学思维能力发散性敏捷性灵活性

中国古代大教育家﹑思想家孔子十分强调思维的重要性，曾说：“学而不思则罔，思而不学则殆.”意思是学习不加思考就会迷惑无所得，现代文明所建树的一切无一不是思维的功绩.近年来，高考数学对考查学生思维能力的要求越来越高，并且此项能力考查的内涵也越来越广泛.然而，很多学生只会模仿平时练过的题型，解决传统的题目，对从来没练过的新题型束手无策，归根究底学生缺乏的是数学思维能力与分析解决问题的能力.学生对基本知识、基本方法不熟悉，更重要的是学生的思维不够灵活.因此教数学不仅仅是传授数学知识，更重要的是培养学生的数学思维能力.掌握知识与提高思维能力是互为目的，互为条件的辩证统一过程，只重知识不重能力培养，传授给学生的知识是死知识，也就谈不上培养学生数学思维能力.因此只有将数学课堂教学的重点放在加强思维训练、提高分析能力上，才能真正发展学生智力与潜力，培养思维方式，提高分析能力，使学生从“知识型”向“智力型”转化.

经过三年的教学与实践，从课堂知识讲解的方式，例题的选择，解题的思路，以及解题回顾等方面来提高学生的思考问题，解决问题的能力，对此我有些粗浅的心得体会.我认为可以从以下四个方面培养学生的思维能力，提高学生解决问题的能力.

一、“一题多解，一题多变”，培养思维的发散性［１］

一题多解，是从多角度思考同一个问题，采用不同的基本方法解决问题，找出这些方法之间的内在联系，逐渐引导学生的多元化思维；一题多变是通过对同一个题目的引申、变化、发散，突现问题的背景，揭示问题与条件之间的逻辑关系.教师在教学中首先要选择典型的题目，引导学生从多方面思考问题，力求一题多解，使知识和方法延伸到数学的各个分支，探究它们之间的内在联系；其次要善于挖掘题目的潜在功能，恰当地对题目进行延伸、演变，使学生的思维处于积极、兴奋的最佳状态，提高学生独立分析问题的能力，从而对问题的本质属性及解法规律有更深刻的理解.

例1：若x＞0，y＞0，x+y=1，求（1+）（1+）的最小值.

对条件分析可以从四个方面着手：

（1）由条件和问题的对称性，想到x+y=1为定值，当x=y=时，（1+）（1+）有最小值9；

（2）x＞0，y＞0，x+y=1，想到x+y=1为定值，根据基本不等式，当x=y时，xy有最大值;

（3）x+y=1，想到1=x+y恒等变形；

（4）x＞0，y＞0，x+y=1，可令x=sint，y=cost，t∈（0，）；

（5）x＞0，y＞0，x+y=1，想到y=1-x，x∈（0，1）可化为一元函数，从而可以得出五种相应的解题方法.

通过“一题多解，一题多变”，可以使学生形成环环相扣的知识网络，而不再是一小块一小块的零碎知识.“一题多解，一题多变”并不是方法与问题的简单堆砌，而是从不同的角度去分析，思考同一个问题不同的切入点，让学生意识并掌握从不同角度去思考问题，养成富于联想的思维习惯，有效地培养思维的发散性.

二、勇于探索，善于分析，培养思维的敏捷性

思维的敏捷性是能在较短的时间内提出解决问题的正确意见.思维活动的快慢集中表现为分析问题和解决问题的快慢.教学中我们经常观察到有些学生反应迟钝，思维混乱，生搬硬套，特别在大型考试中碰到新颖的题型惊惶失措，常常陷入传统的定势思维.因此，学生思维敏捷性有待提高，这就要靠教师平时鼓励学生勇于探索，引导学生分析问题.我认为主要从以下各方面培养学生思考与分析问题：（1）题目中的条件是什么？待求结论是什么？（2）通过已知条件可以映射到什么结果？（3）仔细研究问题的求解目标，分析要达到此目标必须具备的条件.（4）改变原问题的表达形式，将其转化为与之等价的形式简单或容易解决的问题.（5）如从正面思考有困难就从反面思考，直接法不能奏效时就用间接法.

例2（2010江苏高考第19题）：设各项均为正数的数列{a}的前n项和S，已知2a=a+a，数列{}是公差为d的等差数列.

（1）求数列{a}的通项公式（用n，d表示）；

（2）设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S+S＞cS都成立，求证c的最大值为.

分析：首先根据条件我们可以得到如下信息：（1）各项均为正数的数列{a}的前n项和S，就想到a=a，n=1S-S，n≥2；（2）数列{}是公差为d的等差数列，可以得到=+（n-1）d，从而得到S.然后看看问题，第一小问是求数列{a}的通项公式（n，d表示），由前面的分析，我们已经得到a可用a，n，d来表示，所求问题是要用n，d表示，再比较分析一下就可以得出我们要做的事情用d来表示a.如何用d来表示a呢？由条件2a=a+a就可以得到.第二小问用分离参数法和基本不等式是比较容易的.有了这些分析，解题途径基本明确，接下来的工作便是正确而合理地进行计算.

解：（1）由题意知，=+（n-1）d=+（n-1）d

当n≥2时，a=S-S=（-）（+）=2d-3d+2dn

由2a=a+a，得到2（2d+d）=a+2d+3d，=d

故当n≥2时，a=2nd-d=（2n-1）d

又a=d，所以数列{a}的通项公式为a=（2n-1）d.

（2）由=d（d＞0），=+（n-1）d=+（n-1）d=nd

得到S=nd

∵S+S＞cS∴md+nd＞ckd=d

又d＞0，∴m+n＞，c＜

∵m≠n∴m+n＞＞

∴c≤，所以c的最小值为.

要培养学生的思维敏捷性，必须让学生学会分析题目条件，结合题目结论或所求，探索问题的突破口，采纳相应解决方法，并进行长期的锻炼，从而达到提高学生的思维敏捷性.

三、加强探究猜想，培养思维的灵活性［２］

思维的灵活性是一个人的思维活动能根据客观情况的变化而变化.思维活动的灵活程度，它表现为对知识的应用熟练程度，根据熟悉的条件形式，展开合理的猜想，将待求问题转变成熟悉的形式，巧妙地解决问题.猜想要以知识和经验作为支柱，但培养敢于猜想，善于探索的思维习惯则是形成直觉的基本素质.波利亚十分推崇学习过程中的猜想，因此在教学中教师要鼓励学生猜想，看到已知条件要善于“浮想联翩”，勇于尝试.先抓住一些信息，做出猜想，再做修正、证明，从而培养思维的灵活性.猜想是依据已有的知识和结果，经过尝试而获得对于待解决问题向结果靠近的方向猜想，除了猜想获得结果外还需验证所得猜想，所以此项能力集中体现为综合素质能力，要求比较高，经常放在解答题中考查.

例3（2010江苏高考第20题）：设f（x）定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x），如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）.

（1）设函数f（x）=1nx+（x＞1），其中b为实数.

（i）求证：函数f（x）具有性质P（a）.

（ii）求函数f（x）的单调区间.

（2）已知函数g（x）具有性质P（2）.给定x，x∈（1，+∞），x＜x，设m为实数，α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx，且α＞1，β＞1，若|g（α）-g（β）|＜|g（x）-g（x）|，求m的取值范围.

分析：本小题主要考查了函数的概念、性质、图像及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合，分类讨论的思想方法进行探索，分析与解决问题的综合能力.由题意易证明（i）.（ii）对b分类讨论易得：当b≤2时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；当b＞2时，函数f（x）的单调增区间为（1，），单调减区间为（b+，∞）.第（2）题由题意g（x）在（1，+∞）上单调递增，猜想α，β∈（x，x），则符合题意；看到α=mx+（1-m）x，β=（1-m）x+mx这一条件马上猜想并验证m∈（0，1）时，α，β∈（x，x）.由于分类讨论的原则是：不重不漏，由于对m讨论的完整性，再考虑m≤0和m≥1的情况，经讨论都不符合题意，所以m∈（0，1）.有了这些思考，接下来解题就迎刃而解了.

看到熟悉的条件，要形成条件反射，联想到相应的结论或相似的结果，这些联想可能就是题目的突破口.要想形成这种条件反射，教师必须在教学中不断引导学生善于猜测，用于探索，不断提高学生的思维灵活性，走出传统的定势思维.

四、重视解题回顾，深化数学思维［３］

解题回顾是题目解答完后，教师引导学生重新审读题目，讲评解题对策的由来及其过程，帮助学生总结出数学的基本思想和基本方法，促进学生掌握，并学会将这些思想与方法运用到新的问题中去，成为以后分析和解决问题的坚固后盾，因此解题回顾也是数学教学中的一个重要环节.通过解题回顾可使学生学会寻求题目的分析入口，帮助学生掌握解题策略，也有利于提高与发展学生的解题能力.习题讲解完毕，教师不妨提出以下几点让学生思考与实践.

（1）对题目的条件反复推敲，抓住最棘手的条件，往往最棘手的条件正是题目的突破口.

（2）对习题现行的方法进行分析，思考这些方法为什么行之有效，进一步思考有无更直接或更完美的解题方案.

（3）对问题本身进行分析，分析该问题是不是特殊情况，能否将该问题推广到一般，成为一个普适的结论.

（4）总结出题目中的因果关系和其他的逻辑关系，还可以将这些条件与结论互易，是否也成立；或者加强某个条件，结论是不是依然成立.

尽管培养与提高学生的思维能力不是一朝一夕的事，但是我们作为教师，应本着“授之以鱼，不如授之以渔”的原则，教会学生如何思考数学问题，培养数学思维.教师要注意通过教学活动，创造有利条件，促进学生在掌握知识和技能的过程中思维能力得到发展.平时教学应当引导学生正确分析问题，探究知识之间的联系，渗透数学思想，并阐述采用该种数学思想的缘由；通过作业辅导学生掌握数学思维的基本方法，逐步引导学生运用恰当的数学思维方法去分析具体问题，解决实际问题.

参考文献：

［1］张群.加强发散性思维训练优化解决数学问题策略［J］.淮阴师范学院教育科学论坛，2009，3：67-68.

［2］邹国林.培养学生科学的数学思维方法［J］.教育艺术，2009，11：85.

［3］逯全弟.提高高中生解决数学问题的能力［J］.甘肃联合大学报，2009，3（23）:95-96.