丁丁梦游数学王国（6）

丁学明

斐波那契的兔子

“小白兔，白又白，两只耳朵竖起来……”丁丁在飞毯上睡着了，在梦中还诵读起儿时的童谣。

麦斯狗听到丁丁读的童谣，推醒了丁丁，问：“你的生肖属什么？”

丁丁说：“我属兔的啊！”

“你喜欢兔子吗？” 麦斯狗追问丁丁。

“养过一只。不过没过多久，它就‘挂了。”提起这伤心的事，丁丁的心情一下就低沉起来。

“你听说过数学家也对养兔子感兴趣吗？”麦斯狗接着话题问丁丁。

“数学家有闲心养兔子？我估计这样的数学家不是忙里偷闲就是不务正业。”丁丁显然不太高兴。

“那可不一定哟……变——变——变！”

麦斯狗喊了三声“变”，从腋下变出一本斐波那契的著作《算盘书》交给丁丁，丁丁接过书：“哇！又一本好书！”立刻翻开书，看了看作者简介和目录，再翻到麦斯狗说的数学家养兔子的章节。

原来，有人想知道一年内一对兔子可繁殖成多少对，便筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每一个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡，则一对兔子一年内能繁殖成多少对？

丁丁看完后，自己探索起来了：

成熟的一对兔子用记号●表示，未成熟的用○表示。每一对成熟的兔子经过一个月变成本身的●及新生的未成熟○。未成熟的一对○经过一个月变成成熟的●，不过没有出生新兔，这样便可画出左边的图。

我们可以看出兔子的对数，第一个月底有2对，第二个月底有3对，第三个月底有5对，第四个月底有8对，第五个月底有13对，所以按这个规律写下去，便可得出一年内兔子繁殖的对数有377对。

丁丁探索完，问麦斯狗：“是这样吗？”

“你真聪明，赶上数学家了。”

丁丁高兴地叫道：“我要成数学家了！”

麦斯狗继续讲道：“斐波那契也是这样研究的。其实，上面的规律就叫做斐波那契数列，该数列的每一项都被称为斐波那契数，即

1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，144…

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和：2=1+1，3=1+2，5=2+3，8=5+3， 13=5+8…”

“确实奇妙！”丁丁发出感叹。

“奇妙的还在后头呢！” 麦斯狗又在吊丁丁的胃口了。

“快说说！”丁丁央求麦斯狗。

“斐波那契数与植物花瓣有着紧密的联系：如3是百合和蝴蝶花的花瓣数，5是蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花的花瓣数，8是翠雀花的花瓣数，13是金盏和玫瑰的花瓣数，21是紫宛的花瓣数……”

“雏菊花花蕊的蜗形小花，有21条向右转，有34条向左转，而21和34，恰是斐波那契数列中相邻的两项；松果和菠萝表面的凸起，它们的排列也分别成5∶8和8∶13这样的比例，也是斐波那契数列中相邻两项的比。这个数列不仅在数学、生物学中，还在物理、化学中经常出现，而且它还具有很奇特的数学性质，真是令人叫绝啊！”

麦斯狗一口气说了这么多，丁丁听得津津有味。

欧拉的遗产问题

一路上，麦斯狗的故事层出不穷，丁丁也听得津津有味。

飞毯已不知不觉来到了欧洲瑞士的上空。麦斯狗立即惊叫起来：“我的小主人，快看啊，多么美丽的阿尔卑斯山啊——它是欧洲最高大的山脉。瑞士的旅游收入就靠着世界各地的人到这儿参观游玩。”

“是呀！我们也下去玩玩吧！”丁丁对玩总是热情洋溢。

丁丁和麦斯狗在滑雪圣地——阿尔卑斯山玩起了滑雪。

麦斯狗和丁丁边滑雪边说着话：“你知道瑞士出了哪位著名的数学家吗？”

“这个当然知道，数学史上最多产的数学家——欧拉。”丁丁十分肯定地回答。

“那么你知道欧拉的遗产问题吗？” 麦斯狗追问丁丁。

“这个我还没听说过，我知道他小时候巧算1加到100的故事，知道他后来得了白内障，眼睛看不见了，还继续研究数学，自己口述，助手记录，仍然出了不少成果，实在太了不起了。唉，快给我说说这个遗产问题，有什么奇妙的地方啊？”

“好吧！”麦斯狗娓娓道来，“欧拉写过一本数学名著叫《代数基础》，他在书中写有这样一个数学问题：

有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100法郎和剩下财产的1/10；第二个儿子分得200法郎和剩下财产的1/10；第三个儿子分得300法郎和剩下财产的1/10；第四个儿子分得400法郎和剩下财产的1/10……按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多。问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下了多少财产？”

丁丁不愧是一个数学迷，一听完麦斯狗的话就说：“听起来这个问题这么长，有点吓人，其实只要抓住题中的关键所在，从后往前推算，并运用分数应用题的有关知识，就可迎刃而解了。”

“还是你聪明。能不能说说具体的过程？” 麦斯狗对丁丁发问道。

丁丁说：“没问题，我们用设未知数的方法就可以解决，不妨设这位父亲共有n个儿子，最后一个儿子为第n个儿子，则倒数第二个就是第（n—1）个儿子。通过分析可知：

第一个儿子分得的财产=100×1+1/10×剩余财产；

第二个儿子分得的财产=100×2+1/10×剩余财产；

第三个儿子分得的财产=100×3+1/10×剩余财产；

第（n—1）个儿子分得的财产=100×（n—1）+1/10×剩余财产；

第n个儿子分得的财产为100n。

因为每个儿子所分得的财产数相等，即100×（n—1）+1/10×剩余财产=100n，所以第（n—1）个儿子剩余财产的1/10就是100n—100×（n—1）=100法郎。

那么，剩余的财产就为100÷=1 000法郎，最后一个儿子分得：1 000—100=900法郎。从而得出，这位父亲有（900÷100）=9个儿子，共留下财产900×9=8 100法郎。”

丁丁分析得清清楚楚，麦斯狗听得不知怎样夸丁丁了，只好竖起了大姆指。

麦斯狗对丁丁说：“其实还有其他的分析方法！”

丁丁回答说：“这个问题暂停，留给聪明的小读者吧。现在，我们好好玩，痛痛快快地滑雪吧！”

“好！飞啦！”

说完，他俩加速冲向阿尔卑斯山的山下，体会到了飞的感觉。