海河流域降雨时间序列小波分析

王 哲，只德国，李涛涛，柳 林

（1.海河水利委员会水文局，天津 300170；2.天津市水利勘测设计院，天津 300204）

1 引言

海河流域是我国降雨年际变化最大的地区之一，最大年与最小年的比值达8～20 倍，降雨年内变化也比较大，汛期 （6—9月） 降雨量占全年总量的75%～85%[1]。由于社会经济的发展及各种自然、地域、水资源利用等因素的影响，海河流域遭遇了空前的水资源危机，而降雨是海河流域水资源的主要来源。因此，分析海河流域水资源的时间分布趋势，势必要研究流域内降雨的变化趋势，为加强流域水资源管理提供基础依据。

降雨序列作为一种信号，包含多种信息，传统的时间序列分析方法无法揭示其内在的信息。小波分析（wave1et ana1ysis）是傅里叶（Fourier）分析方法的进一步演变分析方法，是一种强有力的信号分析工具。该方法利用小波消噪技术把高频成分有效分离，揭示信号的精细结构和多时间尺度特性，较容易识别出信号序列中隐含的主要周期。降水过程属于非平稳随机过程，一般具有以年为周期的规律性[2]。笔者运用小波分析理论，对海河流域1951—2004年共54年的降雨资料进行小波分析，分析降水周期变化，研究水文时间序列的突变或瞬变特征，为短期及中长期降水预测提供科学依据。

2 小波分析模型

2.1 模型构建

小波分析在Fourier 变换基础上引入了窗口函数，通过小波变换把原始信号转化到时间-频率平面上，揭示出时间序列中瞬时频率结构随时间变化的特征[3，4，5]。小波函数可以定义为：设φ（t）为一平方可积函数，即φ（t）∈L2（R），若其Fourier 变换ψ（ω）满足容许条件：

则φ（t）称为一个基本小波或者小波母函数，将小波函数进行伸缩和平移，得到连续小波φα，τ（t）：

对于任意函数f（t）∈L2（R），其连续小波变换为：

式中：a 是尺度因子；τ 为平移因子；Wf（a，τ）为小波系数；L2（R）为实数域平方可积空间。

Daubechies 小波一般简写为dnN，N 是小波的阶数，取N=4，采用db4 小波，运用MATLAB 中的wave1et too1box 工具进行主要数据的处理计算。

实测降雨序列x（t）由于受到人类活动和下垫面变化的影响，一般由有用序列和噪声序列两部分构成[6]。有用序列有助于表现序列的水文特性，一般是低频或者平稳的信号； 噪声序列是阻碍表现水文特性的序列，一般是高频信号。通过小波消噪技术把高频成分有效分离，对小波分解序列进行处理，再将处理后的序列进行重构，实现信噪分离，从而研究降雨序列特性[7，8]。

2.2 降雨时序变化的小波分析步骤

海河流域降雨量序列的小波分析步骤如下：①降雨年代距平。对降雨序列进行距平计算，分析降雨丰枯规律。②降雨信号信噪分离。对降雨序列进行消噪，提高数据的可靠性和周期性。本次使用MATLAB 的wave1et too1box 对降雨时间序列进行降噪，分析其周期性。③分析径流的丰枯变化趋势。画出4 个主要尺度的降雨序列消噪图，分析各主要尺度径流序列的丰枯变化趋势。综合分析某一时间在各个尺度的丰枯情况，确定该时刻的丰枯趋势。

3 海河流域降雨时序变化的小波分析

通过对海河流域实测1951—2004年降雨资料进行分析，海河流域多年平均年降水量为541.4 mm。流域降水量年内分配很不均匀，75%～85%集中在汛期，而流域内作物需水最集中的3—5月月平均降水量仅为50～100 mm。降水量的年际变化很大，1964年为最丰水年，流域平均降水量达798 mm，比多年平均值偏丰43%；1965年为最枯水年，流域平均降水量为358 mm，比多年平均值偏枯36%，丰枯年降水量相差2.23 倍，如图1 所示。

图1 海河流域降雨量年际变化

图2 海河流域降雨量区间频率及累积频率

图2 揭示了海河流域降雨量在420～600 mm 之间的概率较大，而小于400 mm 或大于650 mm 的概率较小。为了揭示各个年代的降雨量变化，计算降雨时间序列10年平均距平，结果见表1。距平计算公式为：

式中：x 为数据年代平均值；y 为数据序列平均值。

表1 海河流域1951-2004年年平均降雨年代距平

由表1 可以看出，20 世纪50—70年代，降雨距平为正，说明其间降雨较多，尤其是20 世纪50年代，降雨距平百分率达到10.44%，说明当时降雨比正常值要高得多； 而自20 世纪80年代起，距平为负，说明其间降雨偏少，目前正处于降雨偏少期。

实测水文序列由于受到人类活动和下垫面变化等因素的干扰，不可避免地含有系统噪声和测量噪声[2]。噪声序列会影响水文序列的真实变化规律，因此必须进行消噪才能进一步分析计算水文序列，从而提高数据的可靠性和周期性。笔者使用MATLAB的wave1et too1box 对降雨时间序列进行降噪，分析其周期性，如图3 所示。

图3 海河流域年降雨量消噪

由图3 可以看出，随着尺度的增加，频率越来越低，周期越来越长。

当尺度为1 时，1951—2004年大概可以分成8个周期，其中有5 个周期的振幅较大，而3 个周期振幅较小，1955年达到第1 个波峰，且为这54年中最大值，约720 mm，1981年左右是整个时段的最低点，约400 mm，1999年达到最后1 个周期的波谷，之后开始慢慢上升。

当尺度为2 时，1951—2004年大概可以分成4个周期，其中有2 个周期的振幅较大，而2 个周期振幅较小，1958年达到第1 个波峰，且是这54年中最大值，1981年左右是整个时段的最低点，2001年达到最后1 个周期的波谷，之后开始慢慢上升。这与尺度为1 的周期分析差不多，比较此2 幅图，可以看出，尺度为2 时的图像基本上是把尺度为1 的图像中的振幅较小的周期进行了简化，融合到振幅较大的周期中。

同理，尺度为3 和4 的图像继续把频率降低，周期拉长。当尺度为4 时，整个图像只有1 个周期。1951—1984年期间，整个图像趋势向下，在这个阶段内，降雨量是不断下降的，之后开始慢慢上升，但上升幅度很小，从大概500 mm 升至520 mm 左右，升幅约为10 mm/10年。

4 结论

海河流域降雨量具有多时间尺度的变化，大尺度的周期变化嵌套着小尺度的周期变化。通过时间序列分析和小波消噪分析可以看出，近几年正处于海河流域降雨较枯阶段，各个尺度近几年均处于波谷向波峰转变的阶段，但是增长幅度较小，需要通过加强流域水资源统一调度管理、完善和建立流域水资源调度管理制度和省际间的水量调度协商机制实现水资源的合理配置。

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