多调制源信号的循环平稳分析及仿真

王小卉，杨洁明

（1.湛江师范学院 机电工程系，广东 湛江 524048；2.太原理工大学 机电研究所，山西 太原 030024）

在通信、遥测、雷达和旋转机械等系统中，经常会遇到很多随机信号，其非平稳特性表现为一定的周期性，这类信号统称为“循环平稳信号”。此类信号的统计特征参量虽然是时变的，但由于其自身独特的周期平稳性，使其单次采集到的记录，具有周期遍历特性，这种“循环平稳性能”，使得这类随机信号的分析处理得以实现。

传统统计信号处理方法在处理循环平稳信号时，都假定信号是平稳的，忽略了信号的循环平稳性，不能实现对循环平稳信号的最佳处理。因此，人们开始探索充分利用信号循环平稳特征的新的信号处理方法，广泛地应用于通信、语音处理、故障诊断等多种领域[1]。

由于机械故障信号一般都是复杂的多调制源调制调幅信号，本文就以多调制源信号为例，研究二阶循环平稳分析的解调性能，改进分析方法总结规律，为更好地分析实际故障信号奠定理论基础。

1 循环平稳信号特性[2]

通常情况下，随机信号统计特征，呈周期或多周期（各周期不能通约）变化。对循环平稳信号，假设某一信号为x（t），式（1）就是循环统计量的数学表达式。

其中，cx（t,τ）k是 x（t）的 k 阶时变统计量。

最常用的统计量为均值（一阶统计量）、相关函数与功率谱密度函数（二阶统计量）。一阶循环平稳信号，是指此信号的一阶循环统计量（信号的均值）是时间的周期函数的信号。

由一阶循环平稳推广，可得K阶循环平稳信号的定义：若随机过程x（t）从一阶到K阶的各阶时变统计量都存在，并且它们都是时间的周期函数（其中每阶的循环周期可能有多个，且各阶循环周期一般不同），则称该随机过程为K阶循环平稳信号。

因此，当K=1时，对应着一阶循环平稳信号；当K=2时，对应着二阶循环平稳信号。典型的二阶循环平稳信号，是正弦波信号被一个有限带宽的随机信号调制后所得的信号。

本文研究多调制源的调制调幅信号，也是一个二阶循环平稳信号，其数学模型为

其中，

A、B、C为幅值；

ft1指调制频率1；

ft2指调制频率2；

fz1指载波频率1；

fz2指载波频率2。

2 循环平稳分析相关概念

对二阶循环信号x（t）以T为周期进行采样，时变自相关函数为

R（t,τ）=E{x（t+τ/2）x*（t-τ/2）}，

进行时间平均后写成傅里叶级数形式为

其中，

Rα（τ）就是循环自相关函数（Cyclic Autocorrelation Function，简称 CAF），表示为

信号x（t）循环自相关函数的Fourier变化，得到

Sα（ f）就是信号的循环谱（也称为谱相关密度函数 Cyclic Spectrum Density，简称 CSD）。

4 信号仿真

本文采用的信号数学模型如式（2），设此仿真信号中

A=1；B=1；C=2；

调制频率 1，ft1=6 Hz；

调制频率 2，ft2=12 Hz；

载波频率 1，fz1=60 Hz；

载波频率 2，fz2=200 Hz。

从公式上来说，此信号可以看做是一个单纯调幅信号和一个单纯调频信号的叠加，即

调幅信号

调频信号

第一步：计算信号的循环自相关函数，做其三维谱图可勉强观察到ft1、2 ft1、fz1以及fz2，但是信息冗余，交叉干扰严重。循环频率α（Hz）。

第二步：作循环自相关τ=0处的单切片图如图1。

可在低频处看出两个频率：调幅信号的ft1，调频信号的调制频率ft2。

图1 循环自相关单切片分析τ=0

高频处有不易分辨有用频率信息：谱线在120 Hz左右最密。

这是由60 Hz的载波频率引起的，反映了调幅部分的载波及调制频率[60 Hz及其一倍边频（60±6）Hz]的信息。

如果忽略这一簇谱线，则可清楚地发现：在100～200 Hz范围内，谱线的排列和200～300 Hz范围内的谱线排列是一样的，并且关于200 Hz对称。而且在400 Hz处，有不受混频干扰的载波信号及其关于调频频率的多个边频。反映了调频部分的载波及调制频率[200 Hz及其多个边频（200 ±12）Hz、（200 ± 24）Hz、（200±36）Hz等]的信息。

第三步：做信号调制频率处的循环自相关与谱相关切片谱图，如图2所示。

图2 特征频率处切片集合图

分析此图，总结如下：

（1）α=6 Hz的谱相关切片图，是相当于是对其循环自相关的FFT变换。在此循环自相关切片图中，可以看到信号在时延域中呈循环特性，而相应的谱相关图中则可清楚地发现ft1、2 ft1、2 fz1及其边频2 fz1±n ft1、4 fz1及其变频 4 fz1±n ft1、6 fz1及其边频 6 fz1±n ft1等有的能量峰值出现（n 取 1，2，3，…，取值越大，峰值越小）。

为了便于比较，又做调频信号

在特征频率α=6 Hz时的循环谱相关切片图，发现两者的的切片图表达的信息一致。即α取信号调制频率时，可以调解提取出该调幅信号的调制频率与载波频率。

（2）α=12 Hz的谱相关切片具有调频信号的特征。主要反映的是ft2及其倍频n ft2、2 fz2及其倍频2 fz2±n ft2（n取1，2，3，…，取值越大，幅值越小），与调频信号

在α=12 Hz的信息差不多，不同的是此图在f=240 Hz及其一倍边频处（240±6）Hz多出现了能量较低的一小组峰值，反映了调幅信号x1的调制与载波频率。

（3）从图中还可以清楚地发现，调幅信号与调频信号切片图的异同：在α取调制频率频率时，它们低频处出现的能量峰值的，都是是调制频率及其倍频；而高频处则都是载波及其边频，但调幅信号的这种切片图中，有载波频率的倍频，载波频率附近的边频也比较少（通常只有一倍边频），而调频信号中没有载波频率的倍频，且此载波频率附近会出现多组边频。

基于谱相关的这种调解特性，可以判别信号以及频率的类型。

3 结束语

本文阐明了循环平稳信号的特征及其适用信号处理方法。在此基础上，以较为复杂的调制调幅信号为仿真对象，分别分析了它的三维二阶循环自相关谱图，τ=0处的循环自相关单切片图，结果表明三维图运算量大，所得的信息冗余且频率之间干扰严重，取其切片图中也同样存在交叉干扰。

为更清楚地调解出复杂信号中的信息，本文提出了调制频率处的循环自相关与谱相关切片分析法。多调制源调幅信号、多频率成分相加信号的循环相关解调分析表明，循环相关解调分析可以排除交叉因素，有效分离出复杂信号中蕴涵的各调制源和载波源，为更好地分析实际故障信号奠定理论基础。

[1]黄知涛，周一宇，姜文利.循环平稳信号处理与应用[M].北京：科学出版社，2006.

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