应用平行短路板法快速测量微波介质材料的复介电常数

曹良足 曹达明

（1.景德镇陶瓷学院机电学院，江西景德镇333001；2.东南大学吴健雄学院，江苏南京211100）

0 前言

微波介质材料广泛用于制作介质谐振器、介质滤波器、双工器、介质天线以及微波集成电路介质基片等[1]。这些介质器件的性能很大程度取决于微波介质材料的介电参数，特别是介电损耗。微波介质材料的参数的测量方法主要有以下几种[2-3]：传输线法、空腔微扰法和谐振闭腔法、平行短路板法（又称截止开腔法）。传输线反射法是将介质试样放入短路波导中，通过测量波导的输入阻抗来计算试样的介电特性参数。该方法的特点是测量范围宽，设备简单。但样品的尺寸精度要完全符合波导的内壁尺寸。空腔微扰法是将杆状样品放入空腔中，应用微扰理论推算出介质材料的电磁特性。该方法适用于低介电常数（εr＜10）材料的测试[3]。谐振闭腔法是将圆柱形样品置于同形状的圆柱形闭腔中，用εr很低的材料作为支撑，根据谐振曲线的带宽和频率计算试样的无载品质因数。该方法是一种高精度测量介电损耗（tanδ）的方法，但该方法不能同时测量试样的εr。平行短路板法是圆柱体介质的两端被上下平行金属板短路，产生谐振现象，由谐振频率和3dB带宽计算出介质的εr与tanδ，测量精度较高。但计算公式涉及贝塞尔函数的超越方程的求解，国内外的文献没有给出具体的求解过程，困扰了很多科研人员。国内测量微波介质材料参数的方法主要是“开式腔”法，即平行短路板法，80年代初由上海大学率先研制出KWDJ型开放腔式微波介质测量仪[4]，随后制定了国标GB7265.2-87《固体电介质微波复介电常数的测试方法-开式腔法》。目前，国内能准确测量微波介质材料参数的单位主要是少数高校，但测试任务繁忙，且测试费用较高。本文采用平行短路板法测量微波介质材料的复介电常数，主要讨论TE011模的判断方法，解决超越方程的求解问题和表面电阻(Rs)的测定问题。

1 测量原理

将介质材料制成圆柱形样品，置于两块上下平行金属板之间，通过圆环与外电路耦合，如图1所示[2]。

根据麦克斯韦方程组和边界条件可以推导出TE011模满足下列方程组[2]：

（1）～（3）式中λ0和λg分别为自由空间波长和相波长，εr和D分别为样品的相对介电常数和直径，u，v分别为与波数有关的变量，J0(u)和J1(u)分别为零阶和一阶第一类贝塞尔函数，K0(v)和K1(v)分别为零阶和一阶第二类变宗量贝塞尔函数。

由于是TE011模，λg=2L，L为样品的高度。

要想得到εr，必须求解含贝塞尔函数的超越方程的（3）式。该方程用C语言编程，工作量很大。用Matlab求解，则较简单。而且该方程是多值函数，即一个v值对应多个u值。图2是用Matlab画的图。

已知v值，可以从图2可读出u值，但精度不高，可用Matlab编程精确求解。

介质损耗角由下式计算[2]：

（4）式中Q0是谐振器的无载Q值（注：国标当作有载Q值），由谐振频率f0，3dB带宽△f，f0处插入损耗IL.计算[2]：

（4）式中RS是谐振器的表面电阻，计算公式[5]：

σr是金属板的电导率与国际标准退火铜的电导率（在25℃时σ0=5.8×107S/m）之比。

σr一般采取已知介电损耗的介质材料校准得到，本文通过测量与TE011模相同频率的TE013模谐振器的Q值得到[5]。

Q01和Q03分别为TE011模和TE013模谐振器的无载Q值。

tanδ和σr的计算均与含贝塞尔函数的F（u）、G（v）有关。F（u）、G（v）也可用Matlab画出其相应的波形，如图3所示。

从上图可知，F（u）、G（v）分别随u、v的变化明显，因此精确求解u和v的值非常重要。

2 实验过程

采用电子陶瓷工艺，分别制作了4种短圆柱状介质谐振器（简称ε20、ε38、ε74和ε88），它们分别由介电常数为20的(Mg,Ca)TiO3材料、介电常数为38的(Zr,Sn)TiO4材料、介电常数为74的BaO-TiO2-Sm2O3材料和介电常数为88的BaO-TiO2-Nd2O3材料制成的。

2.1 样品尺寸

对TE011模的介质谐振器，其尺寸必须满足下式[5]：

u01是贝塞尔函数J0(u)零点的根，如图4所示。

2.2 模式判定

将测试夹具（见图5）接入矢量网络分析仪（Agilent Analyzer E570B），调节耦合环的间距（水下方向），使谐振器与输入输出环弱耦合，谐振器的频响曲线（S21）如图6所示。

从图中看出有很多谐振峰，根据文献［5］，第二个峰是TE011模，还可以轻微升高测试夹具的上金属板判断，TE011模基本不变化，第1个峰变化明显，且往高频方向漂移，不符合TE011模的特点。

表1 介质谐振器的测试数据Tab.1 Measured data of dielectric resonators

2.3 Rs的测定

由于TE013模介质谐振器的高度很高，加工比较困难，故只选择了ε88一种谐振器来测定σr的值。用公式（12）计算得σr=0.2448。

2.4 测试数据与计算结果

测试数据如表1。中QL是直接从网络分析读出的谐振器的有载Q值，与无载Q值的区别在于公式（9）中有无分母（1-10-IL/20），有载Q值没有分母（1-10-IL/20）。其实当IL大于25dB时，两者的差别很小。

下面讨论表1中的数据处理问题。表中v的值直接用公式（2），用Matllab语句：v=sqrt((pi*D*f0/300) ^2*((300/(2*f0*L))^2-1))，就能得到计算结果。关键是如何求u的值。最简单的办法是将v的值代公式（3），再用语句：fplot(‘函数名’,［取值范围］)，作出含u的曲线，如图7所示为表中ε20的曲线。

曲线表明u有许多值，取第一个值（对应TE011模），大约为3，如何得到精确值？只需用一条fzero指令，就能得到u的精确值，见表1。有了v和u的值，直接用Matllab写公式就能计算εr和tanδ，计算结果见表1。

实际上，可以一次性编程来计算εr和tanδ，由于篇幅太长，本文未列出。

3 结论

（1）取样品的尺寸D/L在1.9～2.3范围，TE011易与其它模式分开，频响曲线中的第二个峰即为TE011模的谐振峰

（2）超越方程中的u值，通过Matlab的fplot和fzero指令能轻松得到精确解。

（3）金属板的相对电导率σr通过测量与TE011模相同频率的同种材料制成的TE013模的Q值，由公式（11）～（12）计算得到。

（4）该方法一次测量能计算得到微波介质材料的相对介电常数和介电损耗，具有快速简单的特点。

1 FIEDZIUSZKO S J,HUNTER I C,et al.Dielectric materials, devices and circuits,IEEE Trans.on MTT,2002,50(3): 706～720

2陈嘉禾,卞建江.无机介质材料的微波介电特性测量.电子元件与材料,Vol.26(2),2007,1～4

3倪尔瑚著.介质谐振器的微波测量.北京:科学出版社,2006

4徐得名,李兆年.微波介质测量仪.仪器仪表学报,1984,vol.5 (4):416～419

5 YOSHIO K,SHUZO T.Modes of a dielectric rod resonator short-circuited at both ends by parallel conducting plates.IEEE Trans.on MTT,1980,28(10):1077～1085