航空货运市场轴辐式网络构建博弈分析

郭莹莹

（华中科技大学 控制科学与工程系，湖北 武汉430074）

一、引言

在货运市场上，航空物流凭借其时效优势得到快速增长。早期，航空运输企业普遍采用城市对式航线结构；20世纪后叶，则出现了轴辐式航线网络。设计出合理、高效的航线网络是航空运输公司迫切需要解决的首要问题。

目前对航线网络的研究，主要集中在航线网络理论研究和航线网络求解算法两方面。在航线网络理论研究中，主要将航线网络划分为直达网络、环行网络、轴辐式网络和子环行网络四种，Lederer等探讨了网络参数对四种航线网络的影响，提出网络结构设计的一些主要参考因素［1］；李革庆运用经济方法和理论，从民航运输实际出发得出现阶段中国应致力于轴辐式航线网络建设的结论［2］；Mikio等研究了航运市场网络竞争，提出双层方法，包括承运商网络竞争和给定最优服务质量前提下顾客的最优行为选择［3］。上述研究大多基于航空客运市场，而航空货运的不同在于客户的行为只是选择承运商，亦即货物运输路径完全由承运商决定，因此在物流时效竞争环境下，研究专门针对航空货运市场的航线网络构建方法具有重要意义。在航线网络求解算法研究中，学者们多从运筹规划角度进行求解分析，柏明国对全连通航线网络和枢纽航线网络进行了定量化比较研究，提出解决无容量限制的多重分派p－枢纽中位问题的两种算法，考虑航班计划提出了一种航线网络设计的三阶段方法［4］；杨晗熠将几何舍入算法应用于中国民航网络连接问题的计算，确定如何以最少的成本组织航空货运，将轴辐式网络结构应用于中国主要城市民航运输网络结构设计中［5］。部分学者用博弈方法解决航空客运网络规划问题，至于航空货运问题基本是在传统规划方法上进行扩展和改进。从市场竞争的角度看，航空货运网络构建实质上也是博弈问题，用博弈的方法分析解决该问题更符合问题本身。

本文基于航空货运市场，研究在市场竞争条件下承运商的网络构建决策，从博弈角度为航空货运轴辐式航线网络构建提供一种定量分析方法，并从战略、策略和运作三个层面入手，给出网络构建模型及求解算法，同时算例分析成本结构变化对博弈结果的影响，以期对承运商在激烈的市场竞争中构建货运枢纽网络提供依据。

二、基于博弈的轴辐式网络构建模型

航空货运市场上承运商构建网络的决策过程通常为：首先研究竞争对手的枢纽网络结构以及市场份额，然后根据研究结果确定自己的枢纽网络结构、所占市场份额以及航线运作计划，整个博弈过程包括三个层面的交互式决策，即战略层的枢纽网络结构（枢纽的个数和位置）、策略层的需求计划（确定需求和运价）以及运作层的运输路线。每家承运商都按收益最大化来构建运输网络，但所有承运商的决策共同决定市场价格，任一承运商任一层面决策的改变都会影响市场价格，从而促使其他承运商的决策做出相应改变。这样的博弈过程不断持续进行，直至达到一个相对稳定的均衡。

（一）模型参数说明

1.模型中的符号及其说明

F：承运商集合；f，g：承运商（f，g∈F）；N：运输网络中节点集合；A：运输网络中节点间连线的集合；H：枢纽集合；M：l个OD需求对（市场）集合；O：需求源节点集合；D：需求目的点集合；ci：货物在节点i的单位处理成本；cij：货物在节点i和j连接上的单位运输成本；ch：枢纽h的固定设备成本；Vh：h的处理容量；ti：货物在节点i的处理时间；tij：货物在节点i和j连接上的运输时间；Tk：OD 需求对间服务水平（k∈M）；pk：第k个OD需求对间的运价，由自己的市场份额和对手的市场份额决定，即pk＝p（qfk，qgk），g∈F＼f，k∈M，称为逆需求函数。

2.模型中决策变量

qk：第k个OD需求对的需求，k∈M；

∀ij∈A，k∈M

（二）承运商的网络构建模型

承运商从最大化收益角度出发，在满足节点流量、枢纽处理容量、服务水平以及决策变量值的约束条件下，构建枢纽网络模型。

模型1：

MaxΨf（qf，xf，yf｜q－f）

（三）模型求解

模型1中决策变量yfh是离散可列的，针对每个可列举的变量yfh，模型1可等价转化为模型2。

模型2：

Max Ψf（qf，xf，y∧f｜q－f）

模型2属于非线性整数规划问题，为得到所求问题的稳定均衡解，采用Jacobi迭代算法，即对角化算法［6］。当一个承运商f要决定其需求计划［qkf］和运作计划［］时，假设f 是市场上唯一的决策者，承运商g（g∈F＼f）仍然保持与其前一时期相同的需求水平［（］。f将g 的需求计划［?］看作常量来决定自己的需求计划［（qk）t在竞争对手的需求［（qk）t］确定后，承运商自己的价格优化问题就是确定［（qk）t］和［］使得在满足约束的情况下收益ψ最大。这个过程不断持续直到所有承运商都不会改变［（qk）t］和［xij，k］来提高收益。算法过程如下：

（3）收敛性检验。当第t－1次和第t次连续两次迭代间需求的最大变化率不超过事先设定的范围ε时迭代结束，即

s.t.（2）、（4）和（5′）

该最小成本路径问题，可以采用Floyd最短路径算法［7］求得，从而得到承运商的运输路线｛，∀ij∈A，k∈M，f∈F｝。

在成本路径确定后，收益最大化问题转化为：

为简化求解模型，考虑双头垄断市场的情况，即航空货运市场上只有两家承运商f和g参与市场竞争，市场价格函数pk＝p（，），假设垄断市场的逆需求函数为P＝a－Q，其中Q为市场的总需求量，Q＝＋。将其带入式（1′），可以得到：

其为二次规划问题，可将其转化成标准型：

该二次规划问题可通过软件进行求解［8］。

通过以上算法描述可以得到每个承运商在不同枢纽网络结构下的支付，从而得到相应的支付表，进而得到两个承运商竞争的Nash均衡解。

三、算例分析

假设双头垄断市场上有承运商A和B，他们均要在中国8个城市中构建快递航运网络，8个城市间的直线距离为其初始运输成本矩阵（如表1所示），其中候选枢纽城市编号为1、2、3。求解过程中整个市场的逆成本需求函数为P＝5000－Q，Jacobi算法最大迭代次数为100，枢纽间运输（主干线）成本折扣因子为0.8。

表1 8城市间直达距离（初始运输成本矩阵） 单位：km

当承运商A和B具有相同的成本结构时，假设单个枢纽日中转容量为10吨，枢纽建设成本为10元／千克，即10万元，节点单位处理成本为1元／千克。求解工具使用Matlab 2009a，可得支付矩阵（见表2），表中带下划线的数值为Nash均衡解。

当承运商的成本结构发生变化时，均衡结果也会有所变化，如表3所示。

在承运商A和B成本结构相同时，支付矩阵为对称矩阵，Nash均衡解也对称。枢纽容量为10吨时的结果与容量为30吨和50吨时不同，是由于10吨时容量过小导致枢纽满负荷运行，某些需求对的运输由于最优中转枢纽的容量限制而不得不转走其他次优线路，使得成本提高而失去部分市场份额，因此两个承运商的最后均衡结果呈互补状态，分别在不同的市场占有大部分份额。当枢纽建设容量提高到足以满足各个OD对的需求时，两个承运商博弈的最终结果均为选择（1，2，3）三个枢纽，当枢纽建设容量继续增大时，最优选择不变，因为需求早已稳定饱和，所以最终结果是多浪费超出额度的枢纽建设成本，导致收益减少。

表2 成本结构相同时支付矩阵（枢纽容量为10 t） 单位：千万元

表3 不同成本结构组合下的Nash均衡解及收益表

当两承运商的成本结构不同时，支付矩阵为非对称矩阵。分三种情形：情形4是枢纽容量的不同导致建设成本不同，结果为（（1，2，3），（2）），均衡收益为（11.387，6.739 5），该结果的出现是因为B的枢纽容量过小导致失去部分市场份额，使得只选2城市作为枢纽成为其Nash均衡选择，且具有较少的均衡收益；情形5是A和B具有相同的枢纽容量和建设成本，但节点单位处理成本不同，A比B更具成本优势，均衡结果为（（1，2，3），（1，2，3）），均衡收益 为（9.274 6，9.271 0），A和B的枢纽容量均能满足市场需求，A凭借低处理成本优势可以占有较大市场份额，获得较高收益；相比情形5，情形6更符合实际，6可以理解为A为减少日后节点单位处理成本而加大建设投入，因此在相同的枢纽建设容量下，A具有较高的枢纽建设成本和较低的节点单位处理成本，此时均衡结果为（（1，2，3），（1，2，3）），收益为（9.265 6，9.271 0）。A加大建设投入而降低的处理成本并没有获得最后收益的增加，原因有二：一是枢纽设计容量过大，使得部分容量处于空闲状态，超出的设计容量只有投入没有产出；二是A的低成本使其获得较大的市场份额，而增加的市场份额获得的收益却低于高份额产生的处理成本，即A的低单位处理成本在市场自动调节的情形下并未产生成本优势，因此A获得的收益略低于B的收益。

将情形5和6与成本结构相同的情形2进行比较可发现，情形5下A成本结构的改变使得自己的收益增加，对手的收益减少，因此在实例假设条件下，若能在不增加枢纽建设成本的前提下降低单位处理成本，则可以提高收益。情形6下A成本结构的改变使得自己和竞争对手的收益都减少。作为与实际情形更相符的情形6并没有使博弈双方取得比成本结构相同时更高的收益，因此在实例假设条件下，情形6中成本结构的改变并不是明智之举。

四、结语

在假设条件下，博弈双方若想获得高收益，枢纽设计容量必须能满足未来可能达到的稳定需求，此时，三个候选枢纽城市均作为枢纽是双方最优选择，但随着枢纽设计容量的增加，收益并未随之增加，说明博弈双方要得到高收益一定要准确估计未来需求。当博弈双方成本结构出现差异时，若双方枢纽设计容量仍能满足未来可能达到的稳定需求，则双方最优选择仍是三个候选枢纽城市均作为枢纽，但并非成本改变一定会带来对自己或对双方均有益的结果。

［1］P J Lederer，R S Nambimadom.Airline network design［J］.Operations Research，1998，46（6）：785－804.

［2］李革庆.关于建立中枢辐射航线网络布局的研究［D］.西安：西北工业大学，2002.

［3］T Mikio，K Adib.Network competition in air transportation markets：bi－level approach［J］.Research in Transportation Economics，2005（13）：101－119.

［4］柏明国.航空公司航线网络优化设计问题研究［D］.南京：南京航空航天大学，2006.

［5］杨晗熠.枢纽确定单连接轴—辐网络结构在中国民用航空网络中的应用［J］.北京理工大学学报：社会科学版，2010，12（2）：27－30.

［6］C L Cheng，S C Lee.The competition game on hub network design［J］.Transportation Research Part B，2010（44）：618－629.

［7］柏明国，姜涛，朱金福.基于禁忌算法的中枢辐射航线网络鲁棒优化方法［J］.数学的实践与认识，2008，38（13）：60－69.

［8］《运筹学》教材编写组.运筹学［M］.北京：清华大学出版社，2001.