探究含电容器电路的瞬态过程

　　摘要：测量电容器充放电的实验数据，将数据输入Microsoft Office 的Excel电子表格，利用图表功能生成充放电曲线，让学生在探究的过程中获得体验，内化知识。再利用两条曲线的相似性，外推出开关通断的瞬间电容两端电压不能突变。
　　关键词：电容器；瞬态；稳态；过程；外推；等效电源
　　中图分类号：G633.7文献标识码：A 文章编号：1003-6148(2011)7(S)-0055-3
　　
　　在含有电容器和电感的电路中，把电路中的电学量（如电压、电流等）长时间保持不变时的状态称为稳态。如果，此时电路发生改变（如电键闭合或断开），则电路中的电学量会向另一个稳态转变，我们把这个过渡过程称为瞬态过程。含电容电路的瞬态过程是教学的重点，也是教学的难点，形成难点的原因是学生对于瞬态过程缺少体验，感性认识不足。笔者发现在教学中可以充分发挥探究实验的作用，让学生亲身经历实验探究的过程，发现电容两端电压Uc、充放电电流i随时间的变化规律，收到了较好的教学效果。
　　1 实验电路与器材
　　电路：如图1所示是研究电容充电与放电的实验电路图，将单刀双掷开关拨到a端研究电容的充电过程，充电完成后拨向b端研究电容的放电过程。
　　器材：超级电容（耐压5.5V，电容1F）、电阻箱（0~9999Ω）、万用表（型号MF47）两块、单刀双掷开关、1.5V的干电池两节、手表一块。
　　原理：充电过程中UC=E-iR
　　放电过程中UC=iR
　　测出充电电流与放电电流，输入Microsoft Office 的Excel电子表格中，利用图表功能画出电流随时间的变化图像，就知道了电容两端电压的变化规律。
　　2 电容器的充电过程
　　实验步骤：
　　①将两节干电池串联构成电源，并用万用表的直流电压档测出电源的电动势E，并记录入表。
　　②用导线将电容短路，将电容可能存贮的电荷释放干净。
　　③按实验电路图把实验器材连接好，并注意把电键拨在b端。
　　④把两块万用表的量程选在直流电流的50mA档上，电阻箱拨在R=55Ω上。
　　⑤由一位同学将开关拨向a端同时开始计时，5秒后发出第一次计录口令（因为开始指针运动较快，计录难度大，误差也大），以后每过20秒钟发出一次记录口令，另外一位同学听到口令后迅速读出电流表的示数并完成记录(此时如果用水笔记录下指针所在的位置操作难度较大，且误差太大，有条件的建议使用数字式万用表可减小读数难度)，直至充电电流几乎不变。
　　⑥保持开关拨在a端不变。
　　⑦将记录的数据填入下表1。
　　电源电动势E=3.1V；电阻箱R=55Ω
　　⑧将表一的数据输入EXCEL电子表格中，利用EXCEL的图表功能得到电容充电过程中充电电流i与充电时间的关系图像（图2）：
　　数据及图表分析：
　　不难看出电容的充电过程中充电电流在不断地减小并有减小至零的趋势，对于充电过程中的整个电路分析，限流电阻R两端的电压UR=iR，随充电电流的减小，电阻两端的电压在不断地减小，又由于电源的电动势保持不变，所以电容两端的电压UC=E-iR在不断地增大并有增大至电源电动势E的趋势。
　　从等效的观点来看，电源电动势不变时电路中的电流在不断地减小相当于电路中的总电阻在不断地增大，而限流电阻R是一个定值电阻，所以可以把充电过程中的电容器等效为一个阻值在不断增大的电阻，当充电完成时，可以把电容器看作为一个阻值为无穷大的电阻，也相当于断路。
　　3 电容器的放电过程
　　⑨经过足够长的时间后（电容较大，充放电时间较长），可以进行电容的放电实验，将电键开关拨到b端，重复步骤⑤即可。⑩将测量的实验数据记录入表2，输入EXCEL，利用图表功能画出电容的放电过程图像（图3）。
　　数据及图表分析：
　　从电容的放电图像，可以看出放电电流也在不断地减小，并有减小至零的趋势。进一步观察会发现，放电电流图像与充电电流图几乎完全相同（原因何在，见外推）。
　　从等效的观点来看，在整个电容的放电回路中，可把电容看成一个等效电源，其两端的电压UC=iR随放电电流的减小而不断减小，当电容放电完毕时，电容两端电压为零，放电电流也为零。
　　4 对充放电过程的实验外推
　　外推一：从电容的充电图像来看，充电电流正趋向于零，由于电容端电压UC=E-iR，所以充电完毕时电容两端的电压 UC-=E（UC-表示开关拨向b之前瞬间的状态值）。
　　外推二：比较充电过程与放电过程的实验数据和it图像，很容易发现实验数据与图像非常吻合，几乎相同。原因在哪里呢？我们继续从等效的观点来看，对充电过程，我们换一个角度，将电源与电容的串联部份等效为一个电源，有：
　　E等1=E-UC充
　　也可以将放电过程中的电容等效为一个电源，有：E等2=UC放（图4）
　　由于E等1与E等2对同一个外电路（电阻箱的阻值在两次实验中没变，又无其它电阻）作用效果相同（两张图像几乎一样），所以两个等效电源在相同的时刻有相同的等效电动势，外推至两次实验的初始值分析（由于实验本身的原因，初始值无法通过实验精确地测出，这里只能理论探究），充电过程之初，电容带电量为零，所以：
　　UC充=QC=0
　　也就有：E等1=E-UC充=E
　　所以：UC+=UC放=E等2=E等1=E
　　(其中，UC+表示开关拨向b之后瞬间电容两端的电压)，显然UC+=UC-=E，在电路发生改变的前后瞬间电容两端的电压保持不变，没有发生突变。
　　这一点由UC=QC也是可证的，因为电容的带电量Q不可能发生突变，电容C又是常量，所以UC不可能发生突变。
　　综上，对含电容电路有以下性质：
　　（1）充电过程的电容可看作一个电阻，阻值在不断增大；
　　（2）放电过程的电容可看作电源，电动势在不断减小；
　　（3）在电路发生改变的前后（如开关的接通与断开），电容两端的电压不会发生突变。
　　5 应用
　　例（江苏•2009•5） 在如图5所示的闪光灯电路中，电源的电动势为E，电容器的电容为C，当闪光灯两端电压达到击穿电压U时，闪光灯才有电流通过并发光，正常工作时，闪光灯周期性短暂闪光，则可以判定
　　A．电源的电动势E一定小于击穿电压U
　　B．电容器所带的最大电荷量一定为CE
　　C．闪光灯闪光时，电容器所带的电荷量一定增大
　　D．在一个闪光周期内，通过电阻R的电荷量与通过闪光灯的电荷量一定相等
　　解析 电路中的闪光灯就是一个电子开关，当电容器两端的电压升高到一定值（设为U2）时，闪光灯导通，相当于开关闭合，电容器开始放电，由于闪光灯电阻极小，所以放电时间较短暂，放电使电容两端电压快速下降，当电压下降到另一定值（设为U1）时，闪光灯截止，相当于开关断开，电容器停止放电，同时开始充电，当电压升到U2开始再次放电，如此重复，形成周期性的闪光（图6）。
　　对于充电过程分析，电容与闪光灯并联，此时闪光灯相当于开路，电容的端电压：UC=E-iR，就算充电完成，i=0，电容两端电压也不可能大于E，另外，由于电容两端的电压在电路改变时不能发生突变，所以放电之初电容两端的电压也不可能大于E，电容端电压变化如图7所示。
　　通过以上分析可以知道，闪光灯的击穿电压U2可能等于E，也有可能小于E，但决不可能大于E，所以选项A、B是错误的。另外，放电过程中电容带电量减少，所以选项C也是错误的。从周期性的特点可以知道，当电容两端电压再次达到最大时，电容带电量也和上次电压最大时一样，电容内部是对外绝缘的，不可能有电荷通过，所以从等效的观点看，一个周期内电容支路无电荷流过，所有电荷只流过了电阻R和闪光灯，选项A正确。
　　(栏目编辑王柏庐)