在变化中引导学生深化理解

　　摘 要： 在初中数学教学中，教师要通过题目内容和形式的不断变化，让学生从不同的角度思考问题，体现知识的运用的多面性和层次性，使学生较全面地理解每个章节的知识，从而不断提高学生对知识的理解能力和运用能力。
　　关键词： 初中数学 知识 深化理解
　　
　　知识的不同层面，只有在运用过程中通过有规则的变化才能呈现出来，教学中教师在设计教案时，要充分体现知识的联系性、连续性和层次性.
　　一、在步步延伸中对知识深化的理解
　　题目的训练能起到消化概念，理解法则的作用，但孤立的单个题目，只能展示知识点某一个面，而不是全部，要使学生全面地掌握，必须出一系列有密切联系的题目组合.
　　如，教学直角三角形勾股数据时可这样引导与深化.
　　例1.如果一个三角形的两边长分别是3米和4米，则另一边的长是多少？学生回答是5米.教师接着问：这个三角形的面积是多少平方米？学生首先知道是直角三角形，两条直角边分别是3米和4米，故面积为6平方米.
　　变式1：下列三组数据是三角形的三条边，问哪一组数据能直接计算出三角形的面积？
　　（A）9、12、15 （B）4、6、7 （C）5、12、13
　　本题实际上是检验哪组数据符合勾股定理.
　　变式2：如果直角三角形的三边长分别是3、4、5，那么三边长分别为0.3、0.4、0.5和30、40、50的三角形是什么形状的三角形？通过归纳你领会到了什么？
　　变式3：如图1，当AB=13米，BC=12米，AD=4米，DC=3米时，求下列四边形面积.
　　简要分析：由三角形ADC是直角三角形求出AC的长，再根据三角形ABC三边的边长关系，得出该三角形是直角三角形，即可求出四边形的面积.
　　变式4：如图2，当AB=13米，BC=12米，AD=4米，DC=3米时，求下列四边形面积？
　　简要分析：连接AC，得出直角三角形ADC，求出AC的长.再根据三角形ABC的三边长度，不难看出其符合勾股定理这一规则，从而求出三角形ABC的面积，进而求出此四边形的面积.
　　 图1图2
　　当然，还可以根据学情继续变化，使学生逐步掌握直角三角形的知识点，同时在不断变化的过程中，使学生深化对知识的理解，从而牢固地掌握、灵活地运用知识.
　　二、在同类比较中对知识深化的理解
　　数学教学中有好多科学性、规律性的结论是需要启发学生思维，使学生通过比较得出正确结论的，当然在比较过程中也有归纳和总结.在初中阶段，比较的形式出现得较多的是同类比较，为了使学生在学习中生成智慧，新教材将旧教材中一些定理和公式有意识隐去，让学生通过知识的深化去理解和总结.教师要理解新教材的先进理念，以及新教材的编写意图.
　　例2.方程x-2x+1=0的根为x=1，x=1，则x+x=2，x•x=1.
　　方程x+3x-4=0的根为x=-4，x=1，则x+x=-3，x•x=-4.
　　方程x-x-1=0的根为x=，x=，则x+x=1，x•x=-1.
　　（1）由此可得到什么猜想？你能证明你猜想的结论吗？
　　（2）利用（1）的结论解决下列问题：已知α、β是方程x+（m-2）x+502=0的两根，求代数式（502+mα+α）（502+mβ+β）的值.
　　分析：（1）观察方程的两根的和与积与方程的系数之间的关系，利用系数表示出两个根的和与积得到结论，然后利用求根公式进行证明；（2）先根据方程根的定义得出α+（m-2）α+502=0，β+（m-2）β+502=0，变形之后，再利用（1）的结论求出即可.
　　解：（1）猜想：若方程x+px+q=0（p、q是常数，x是未知数）有两个根x、x，则x+x=-p，x•x=q.理由如下：
　　∵方程x+px+q=0的两实根是x=，x=，
　　∴x+x=+==-p，
　　x•x=•==q.
　　（2）∵α、β是方程x+（m-2）x+502=0的两根，
　　∴α+（m-2）α+502=0，β+（m-2）β+502=0，
　　∴α+mα=2α-502，β+mβ=2β-502，
　　又由（1）知，α+β=2-m，α•β=502，
　　∴（502+mα+α）（502+mβ+β）=（502+2α-502）（502+2β-502）=4αβ=2008.
　　本题训练目的是通过比较对知识进行深化理解，探索一元二次方程根与系数的关系，研究总结出规律，方便于今后类似题目的解答，学生总结的是旧教材中的韦达定理.这又可以比较出教育新旧理念的根本区别在于：是教给学生知识，还是教给学生智慧.
　　三、在添加条件中对知识深化的理解
　　知识之间是互相联系的，要将知识联系得恰到好处不是一件简单的事情.数学中往往在一道简单的题目上添加一个条件就能使题目变得有价值，就能使学生有探索和研究的空间，能动地掌握所学知识.
　　例3.如图3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF，（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）添加一个条件，使四边形ABFC是菱形，并进行说明.
　　分析：（1）根据点E是BC的中点即可求出BE=CE，又知AB∥CD，故可得∠1=∠2，∠3=∠4，于是证得△ABE≌△FCE，进一步得到AB=CF，结合梯形的知识即可证得四边形ABFC是平行四边形；（2）该问答案不唯一，添加条件可为：AC=CF或AF平分∠BAC或AE⊥BC，根据菱形的判定定理即可证得四边形ABFC是菱形.
　　证明：（1）∵点E是BC的中点，∴BE=CE，又∵AB∥CD，
　　∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF.
　　又∵梯形ABCD中AB∥CD，∴四边形ABFC是平行四边形．
　　（2）添加条件（不唯一）可为：AC=CF.
　　由（1）可知：四边形ABFC是平行四边形，
　　∵AC=AB，∴平行四边形ABFC是菱形.
　　不难看出本题第二问还可以添加条件：如，AF平分∠BAC或AE⊥BC等.添加条件后就使知识之间的区别和联系立即呈现出来，能使学生在题目的变化中加深了对数学知识的理解，达到融会贯通.