最值求解方法例谈

　　在实践生活中，最值问题经常遇到，怎样确定最值题求解的最佳方法，使实际生活生产中，遇到的消耗最低，产值最高等问题得到很快解决呢？本文以实际例子谈谈这方面的解法，以使同学们能很快掌握解决这一问题的基本技能和基本思想方法.
　　一、配方法求最值
　　所谓配方法求最值，就是将实际问题转化成二次三项式，再应用配方法求出最值.
　　例1：（2010年安徽中考题）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞销售，九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：
　　（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比是如何变化的？
　　（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天收入y（元）与x（天）之间的函数关系式.（当天收入=日销售额-日捕捞成本）
　　（3）试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？
　　解析：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比减少了10kg.
　　（2）由题意，得y=20×（950-10x）-（5-）（950-10x）
　　=-2x+40x+14250
　　（3）∵-2＜0∴y=-2x+40x+14250=-2（x-10）+14450
　　又1≤x≤20时，且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x增大而增大，当10＜x≤20时，y随x的增大而减小.当x=10时，即在第10天，y取得最大值，最大值为1450元.
　　二、二次函数顶点坐标式求最值
　　本法即为将实际问题转化成一元二次函数的形式，再用顶点坐标求最值.
　　例2：（2010年武汉市中考题）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用，根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元，设每个房间的每天房价增加x元（x为10的整数倍）.
　　（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的关系式及自变量x的取值范围；
　　（2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系；
　　（3）一天订住多少房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
　　解析：（1）y=50-x（0＜x≤160，且x是10的正整数倍）
　　（2）w=（50-x）（180+x-20）=-x+34x+8000
　　（3）w=-x+34x+8000，应用顶点-=170，当x＜170时，y随x增大而增大，但0＜x≤160，∴当x=160时，w=10880，y=50-x=34.
　　答：一天订住34个房间，宾馆每天利润最大，最大利润10880元。
　　三、判别式法求最值
　　此法即为将实际问题或数字式子经变化转化成一元二次方程的形式，再利用判别式求最值。
　　例3：设a，b为实数，则a+ab+b-a-2b的最小值是?摇?摇?摇?摇.
　　解析：设y=a+ab+b-a-2b.
　　变形整理为a（b-1）a+（b-2b-y）=0.
　　利用判别式△=（b-1）-4（b-2b-y）≥0.
　　即-3b+6b+1+4y≥0.
　　∴4y≥3（b-1）-4≥-4.
　　∴y≥-1，此时b=1，a=0.
　　∴答案为-1.
　　评注：特殊性存放于一般性之中，此类题目一般可设y=ax+bx+c，然后移项整理，再利用判别式求值，即可迎刃而解.
　　四、不等式求最值
　　例4：某工厂以每吨3000元购进50吨原料加工，若加工成半成品，每吨加工费为600元，需天，每吨售价4000元；若加工成成品，每吨加工费为900元，需天，每吨售价为4500元，现将50吨原料全部加工完.
　　（1）设其中加工半成品x吨，获利y元，求y与x的关系式（不要求写自变量的范围）.
　　（2）如果必须在20天内完成，如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
　　解析：加工半成品x吨，则加工为成品的是（50-x）吨，半成品每吨利润为（4000-3000）元；加工成成品每吨利润为（4500-3000）天.
　　y=（4000-3000）x-600x+（4500-3000）（50-x）-900（50-x）
　　=-200x+30000
　　由题意得：x+（50-x）≤20，得x≥30
　　∴30≤x≤50.
　　当x=30时，最大值y=-200×30+30000=24000（元）
　　故加工成半成品=10（天）.
　　加工成成品=10（天）.
　　所以10天加工成半成品，10天加工成成品可获得最大利润，最大利润是24000元。
　　评注：利用此种方法简单明白，学生容易掌握.