思维能力培养与高效数学课堂的关系

　　著名数学家坡利亚曾统计，学生毕业后，研究数学和从事数学教育的人占1%，使用数学的人占27%，基本不用或很少用数学的占70%。现代数学教学的主要目的和任务早已不再是简单的知识传授及方法传导，而是通过数学教学，在掌握知识和方法的同时，培养学生的各种思维能力。对于大多数学生来说，掌握数学思想方法和思维方式比形式化的数学知识更重要。因此，在数学教学过程中，要把高效思维能力的培养放在重要的位置，在保障学生充分体验学习过程的基础上，尽量缩短无效时间，再把无效时间转化为有效利用，实现高效数学课堂的目标。
　　一、激发思维意识是高效课堂的起点
　　爱因斯坦曾说：“提出一个问题，往往比解决一个问题更重要。”思维往往是由问题激发的，一个好的问题能使思维得以产生、维持和深入。古往今来，凡有创新精神的人无不具有强烈的问题意识，他们常常主动地带着怀疑的眼光去观察世界、发现问题，而为了促成问题的解决，就自然有了独立思考的意识。因此，在教学活动中，鼓励学生质疑，有助于激发、培养学生的思维意识。
　　1.在教学过程中鼓励学生对教材内容进行质疑
　　比如，在对数概念教学中，学生提出疑问：为什么指数式24=16可以化为对数式4=log216，而（-2）4=16不可以化为4=log（-2）16？如果教师简单地告诉学生“教材就是这样规定的”，就会扼杀学生思维的火花。遇到学生的质疑，教师必须给予肯定，同时课堂上要鼓励大家共同讨论已提出的质疑，激发学生的思维意识，通过讨论由学生自己探究原因：指数函数y=ax中的底数a>0且a≠1，因此指数式ax=N中也应规定底数a>0且a≠1，从而顺理成章地推出logab中底数a>0且a≠1，b>0的条件。
　　2.在解题教学中鼓励学生对题目本身或已有的解题方法提出质疑
　　无穷数列{an}满足：a1=，an2-2an+2an-1=0（n=2，3，……）
　　求证：（1）0　　求证：（2）++……+<2008
　　教学中教师先给出第（2）问的解答过程：
　　∵an2-2an+2an-1=0（n≥2）∴2an-1=an（2-an）
　　则==+∴=-（n≥2）
　　++……+
　　=+（-）+（-）+……+（-）
　　=+-<=2008
　　然后教师鼓励学生对题目和解答过程进行质疑，积极探索、思考和讨论：
　　学生1：由（1）得0，当n≥4016时，（2）中要证明的结论明显是错误的。
　　学生2：把第（1）问去掉，直接作第（2）问。
　　学生3：如果少了0　　学生4：可以把“无穷数列”改为“有穷数列”，加上条件n<4016。
　　学生5：这样改动违背了出题者的意图。
　　经过反复讨论，该题目最终修正为：无穷数列{an}满足：
　　a1=，an2-2an+2an-1=0（n=2，3，…m，m∈N，m>1）.
　　（1）求证：0　　（2）求证：++……+<2008
　　二、创设思维环境是高效课堂的前提
　　传统的教学是教师经过精心准备、以讲授为主的灌输式教学，这种教学方法往往会埋没学生的思维闪光点，自觉不自觉地扼杀了对学生的思维培养。所以，应该改进教学方法，为学生创设思维环境。（1）设计思维障碍，激发讨论。教师在做题时也会碰壁，而教师碰壁之后的思维调整过程学生体会不到，自然就不利于对学生思维能力的培养。在解题教学时，教师应该在学生最容易造成思维定势、最容易出现思维障碍的环节设计问题，让自己在解题中出现思维受阻得以显现，激发学生讨论的欲望，和学生一起讨论调整思路，探索解题途径，培养学生解决疑难问题的韧劲和良好的思维习惯。（2）模拟原始思维，探索讨论。现行教材中许多内容都省略了发现、探索的过程，而这些定理性质是如何被发现的，解决问题的方法又是如何构想的，对学生来说有一种说不出来的神秘感和疑惑感。在教学活动中，模拟知识形成的原始思维，组织学生探索知识形成的过程，为学生创设思维情境。
　　在研究正弦函数、余弦函数的性质时，教材中关于奇偶性的结论为：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。如果对此结论不引导学生进行探究讨论，那只能是走过场，达不到培养思维的目的。在教学中，我们可以结合正弦曲线、余弦曲线把这个性质结论作为“切入点”引导学生作如下方面的探究讨论：
　　问题①：y=sinx图像的对称轴是否存在？如果存在，有多少条？其数学表达式是什么？
　　问题②：y=cosx图像的对称轴是否存在？如果存在，有多少条？其数学表达式是什么？
　　问题③：y=sinx，y=cosx图像有对称中心吗？对称中心有什么特征？
　　问题④：对于函数y=sin（2x+）、y=cos（2x+）你会求它们的对称轴和对称中心吗？
　　通过对以上几个问题的探究讨论，借助直观图形，使学生深刻领悟正弦函数、余弦函数奇偶性的性质，同时又能应用正弦函数、余弦函数的奇偶性解决其他问题。这样的探索讨论，不仅充分揭示了问题的提出、形成和发展的过程，而且使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态，达到思有源泉、思有方向、思有顺序、思有所获，促进了知识的迁移，有利于内化为学生的能力。
　　三、诱发思维灵感是高效课堂的保障
　　爱因斯坦指出：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切。”严格地说，“想象力是科学研究中的实际因素”。想象是人脑中对已有表象进行加工、创新形象的心理过程，它具有形象性、概括性、整体性、自由性、灵活性。世界万物都处于普遍联系当中，当一个数学问题难以下手时，我们的一个常有思维突破口是从与之相似问题的区别与联系中类比，找到规律，产生由此及彼的联想。数学课堂应该教会学生这种由此及彼的联想思维。（1）从学生熟悉的环境出发，联想生活实际，提出问题，鼓励引导学生大胆猜想，不怕出错，养成良好的探究习惯。如：在讲正方体、圆柱体、球体的体积和表面积公式时，设计与实际有联系的问题：要做成正方体、等边圆柱、球三种容器，容积相同，哪一个更省材料？引导学生与生活联系起来，多方位思考，由图形特征进行探究性学习。（2）教师要善于以问题为载体，将知识组成问题链。在教学中，教师可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律的、可以联想的、可探寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中联想解决类似问题的思路和方法。（3）以联想思维训练为主线组织探究学习。通过联想训练，使学生在平时的学习中能主动地、有意识地对数学概念、性质、定理、公式以及问题，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背境，变更问题的条件和结论等，做出有效的探究学习，使之养成探究问题的习惯。
　　由此不难看出，围绕某节课的教学内容、教学目的和教学要求，教师借题生话、借题发挥，将基础知识、基本技能、基本方法逐步融溶于题组中，并引导学生逐层讨论、联想，诱发思维灵感，以期取得课堂效率的最大化。
　　四、思维习惯的培养是高效课堂的目标
　　教学过程中要培养学生良好的反思习惯。在学习过程中，学生往往注重于结论的正确与否，而很少从关注获得这个结论的思维过程中反思问题，深化知识。教师应该启发、引导学生（根据需要和可能）去反思思维过程。
　　下面以直线和抛物线的关系一课来说明之。
　　问题：过抛物线y2=2x（p>0）焦点的一条直线与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），求证：y1y2=-1
　　结论1：过抛物线y2=2px（P>0）焦点的一条直线与抛物线交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则有：y1y2=-p2、x1x2=
　　教师应启发、引导学生：还有什么问题值得我们关注和反思？
　　反思问题1：过X轴上的任一点（a，0）的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否也都为常数呢？
　　反思问题2：过y轴上的任一点（0，b）（b≠0）的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否为常数呢？
　　反思问题3：过平面上任一点（a，b）的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否为常数呢？
　　反思问题4：斜率为定值k的直线与抛物线y2=2px（p>0）交于两点，A（x1，y1），B（x2，y2），y1y2、x1x2是否为常数？
　　从这里不难看出，课堂反思如此和谐完美，力度强劲，设计不以答案为限，而重在揭示学生获得答案的思维过程，抓住了最宝贵的训练思维机遇，培养了学生良好的反思习惯。
　　在数学教学中，培养学生能力的核心乃是培养和发展学生的思维能力。加里宁指出：“数学是锻炼思维的体操”。可见，学生思维能力是要通过数学教学活动去培养和发展的，而高效思维能力的培养则需通过高效的课堂才能得以实现。
　　参考文献
　　[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标，北京：人民教育出版社，2003
　　[2] 李学红.区域推进课堂“有效教学”改革的实践.上海教育科研，2007（2）.
　　（责任编辑刘永庆）
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文