对数学教材加工策略的思考

　　随着新课改的深入推进，越来越多的教师开始理性地思考这次课程改革，越来越多的教师把课堂教学定位于“倡简、务本、求实、有度”。的确，数学课堂的简约可以说是数学教学的一种最高境界。但简约不是简单意义上的“减法”，而是来源于对教材的解读与加工，教师对教材的解读独特而深刻，能够抓住重点，有机整合，前后连贯。解读与加工中选材可以少，但所选题材要有典型性、针对性，要精选素材，巧用素材，努力做到“一材多解”、“一材多探”、“一材多变”、“一材多用”，使每一份材料在课堂上都能发挥出最大的功效。
　　一、“一材多解”，培养学生的思维发散性
　　对于一道数学题，往往由于审视的方向不同，而得到不同的解题方法，在习题课教学中，教师若能抓住一切有利时机，经常有意识地启发、引导学生在所学知识的范围内，尽可能地提出不同的构想，追求更好、更简、更巧、更美的解法，这不仅有利于对基础知识的梳理和掌握，而且也有利于培养学生的发散思维能力。
　　例如：已知数列{an}满足an=，n∈N*，试比较an与an+1的大小
　　方法一：（作商）∵an>0
　　∴===<1
　　∴an　　方法二：（浓度法）把an=看成是一杯溶液（糖）的浓度，随着n的增大（相当于向溶液中加糖），浓度当然增大，易得an　　二、“一材多变”，培养学生知识迁移的能力
　　一个例题，如果孤立地去解答它，那么再好充其量只不过解决了一个问题。数学解题教学应突出探究活动，探究活动不仅停留在对原习题解法的探索上，而且应适当地对原习题进行深层的探索，挖掘出更深刻的结论。这就是数学教学中的变式艺术。变式，是一种探索问题的方法，变式可以激发学生学习数学的兴趣，可以有效地提高学生的数学水平。
　　例如：求曲线y2=-4x上与点A（1，0）距离最近的点的坐标。
　　1．条件一般化
　　条件一般化是指将原题中的特殊条件，改为具有普遍性的条件，使题目具有一般性。将例题条件一般化，引导学生挖掘条件，是设计变式题首先考虑的一种方法。
　　变题：在曲线y2=-4x上求一点M（x，y），使它到点B（a，0）的距离最短。将原式的特殊点A（1，0）改为一般的点B（a，0），这符合由特殊到一般的认识规律，学生容易接受。
　　2．改变背景
　　改变背景是指在某些条件不变的情况下，改变另一些条件的形式，将问题得到进一步深化。在教学过程中，变换例题的形式，可激发学生的探究欲望，从而提高学生的创新能力。
　　变题：已知抛物线y2=-4x与直线y=kx+3没有公共点，求k的取值范围。也可进一步变题：已知抛物线y2=-4x与动圆（x-a）2+y2=2没有公共点，求a的取值范围。
　　3．联系实际
　　联系实际是将抽象的数学问题转化为日常生活中常见的问题，这要求教师要有丰富的生活经验和数学应用意识，教师在例题变式的过程中创设情境，引起或指引学生进行联想，以此提高学生应用数学的意识和学习数学的兴趣。
　　变题：一只高脚酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式为y2=-4x，在杯内放一个玻璃小球，问多大的玻璃小球才能触及酒杯的底部?这样的变式练习，学生可以实验得出，也可以通过教学方法得出，提高了学生学习数学的兴趣。
　　4．变换条件和结论
　　变换条件和结论是将原题的条件和结论都有所变动，但所用的知识不离开原题的范围。这种变题：是否存在同时满足下列条件的抛物线：（1）准线是y=1；（2）顶点在y轴上；（3）原点0到此抛物线上的动点P的距离的最小值为1。若存在，有几条?若不存在，请说明理由。
　　将常规题变为探索题，是设计变式题的又一途径。由常规题变出来的探索题，对学生来说更具创造性和挑战性。在教学中实施变式练习，必须防止机械模仿，应使练习的思维性具有合适的梯度，逐步增加创造性的因素。另外，还应向学生提供机会，接触用各种形式给出问题的条件等。
　　二、“一材多探”，培养学生思维的深刻性
　　第一种形式：对同一题设条件，引导学生观察和思考，由此对导出的各种结果进行探索性分析和论证，从而构造出在同一条件下的多个命题。
　　例如：已知AB是圆0的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆周上任一点，求证：△ABC所在的平面⊥△PAC所在的平面。
　　这是课本的一道习题，证明完毕后可引导学生思考，还可以得到哪些结果?不难发现如下结论：（1）△PAB、△PAC、△PCB、△ABC都是直角三角形；（2）平面PBCA⊥平面PAC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC；（3）∠CAB是二面角C-PA-B的平面角，∠PCA是二面角P-CB-A的平面角；（4）AC是异面直线PA、BC的公垂线段；（5）点A到平面PBC的距离就是A到PC的距离。
　　第二种形式：就是对一个确定的结论或某个数学概念，引导学生探索能使该结论或该概念成立的充分条件或必要条件或充要条件。
　　例如：三棱锥A-BCD满足下列条件之一：（1）各侧面都是正三角形；（2）各侧面都是全等的等腰三角形：（3）各侧面的斜高相等；（4）各侧面与底面所成的角相等；（5）各侧棱与底面所成的角相等：（6）各侧面都是等腰三角形且底面是正方形；（7）相邻侧面所成的二面角相等；（8）相邻侧棱所成的角都相等。
　　问：哪些条件是四棱锥成为正三棱锥的充要条件?哪些条件是三棱锥成为正三棱锥的充分不必要条件?哪些条件是三棱锥成为正三棱锥的必要不充分条件?
　　“一材多探”的两种设计，实际上就是结论开放和条件开放两种类型的数学习题。可以看出这是一种思维能力训练力度较大的教学设计，其特点就是让学生直接参与到数学习题形成的过程中，真正收到了由表及里、举一反三、触类旁通的功效。
　　四、“一材多用”，培养学生的数学思想
　　“一材多用”的教学模式，就是利用题目的结论或公式，借题发挥，解决多个数学问题，这就要求解题者要一眼看透问题的本质。
　　例如：已知三棱锥P—ABC，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，求点P到面ABC的距离。
　　这道题主要是“点到平面距离”问题。我们可以采用：方法一：作图直接求解法；方法二：等体积法；方法三：割补法，把该三棱锥补成正方体；方法四：向量法。
　　学生由常规思路进行方法一的求解，在教师的启发下进行二、三的求解，然后再采用向量法，这样引导学生“想一想”进行独立思考，概括总结“求点到平面的距离”的基本解法，以及各个方法的特点，达到训练思维的目的。该题讲到这里，教师还可以对该题再次进行拓展，效果更佳。（1）纵向延伸。“求该三棱锥的外接球的体积”，引导学生深入思考，理清知识间的前后联系，逐步深化、递进，提高思维的深刻性。（2）横向展开。“改变题设PA、PB、PC两两成60°，其它不动，再求点P到面ABC的距离和求该三棱锥的外接球的体积”，学生解题后，还可以横向展开，引导学生从多种角度、多种途径进行解题，此种方法多用于练习课与复习课，思维的批判性得到很好训练。（3）逆向回转，要求学生小结时注意转化、化归等数学思想。这样，训练学生从顺、逆两个方向思考问题，有利于认识的提高。一个题目多种方法，多角度设问，既训练了学生的思维，又优化了思维品质，同时也提高了学生学习的兴趣。
　　总之，教材的解读与加工可多层次、广视角、全方位地进行研究与拓展，它不只是解决数学问题的策略或方法，其重要意义是向学生揭示了数形结合的思想、化归的思想和归纳的思想。
　　（责任编辑刘永庆）