数形结合思想(下)

　　 数形结合思想在数学中的应用主要体现在两个方面，一是以数解形，这类问题需要从图形中充分挖掘信息，并且将这些信息反应到代数式中；二是以形助数，这是数形结合应用的主体，借助图形的直观性将抽象的代数问题具体化． 下面分别举例说明：
　　
　　
　　 已知函数f（x）=4xx－1．给出如下结论：
　　 ①f（x）是R上的单调递增函数；
　　 ②对于任意x∈R， f（x）+f（－x）= －2恒成立；
　　 ③函数y=f（x）－2x+1恰有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=0．
　　 其中正确结论的个数为（ ）
　　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
　　 解析 逐一判断． 由题意可知f（x）=4xx－1=4x2－1，x≥0，－4x2－1，x<0，作出图象如图1所示，由图象可知f（x）是R上的单调递增函数，故①正确；图象关于点（0，－1）对称，即对于任意x∈R，f（x）+f（－x）=－2恒成立，故②正确；因为函数y=f（x）与y=2x－1图象有3个交点，一个是（0，－1），另外两个关于点（0，－1）对称，所以函数y=f（x）－2x+1恰有三个零点x1，x2，x3，且x1+x2+x3=0正确，即③正确，所以正确结论的序号是①②③，选D．
　　 点评 这道题若用代数的方法求解，则既费时，又费力，且做对的可能性很小，但如果借助图象，使问题变得更加直观、易懂，自然解决起来也更加方便．
　　 已知函数f（x）=sinπx，0≤x≤1，log2010x，x>1，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（ ）
　　 A． （1，2010）B． （1，2011）
　　 C． （2，2011）D． ［2，2011］
　　 解析 本题中分段函数对应的图象如图2所示，因为f（a）=f（b）=f（c），且a，b，c互不相等，所以直线y=k与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，则k∈（0，1）． 与函数y=f（x）的图象的三个不同的交点横坐标从小到大记为a，b，c，则由图象易知a，b关于直线x=对称，即a+b=1，且c∈（1，2010），所以a+b+c∈（2，2011），故选C．
　　 点评 如果上面那道题不利用图形，劈开繁琐这一层面外，还能够解的话，那么这道题如果不利用图形，你肯定无从求解，进一步体现了这种“以形助数”方法的无可替代的地位．
　　
　　
　　 函数中的不少问题常使我们一头雾水，摸不着头绪，考试往往也是束手无策，无从下手，这时如果能够画出其图象的大致形状，就可以给我们“柳暗花明又一村”的感觉．
　　 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈［0，1］时， f（x）=x，则函数y=f（x）－logx的零点个数为（ ）
　　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
　　 解析 偶函数f（x）的周期为2，且x∈［0，1］时， f（x）=x，作出函数f（x）的部分图象如图3所示，而函数y=f（x）－logx的零点即为函数y=f（x）与y=logx的图象的交点横坐标，由图象可知，交点有6个，故函数y=f（x）－logx的零点有6个，故选D．
　　 点评 这道题中函数y=f（x）在R上的解析式没有给出，因此函数y=f（x）－logx的零点用代数方法无法求解，就算你有能耐求出函数f（x）在R上的解析式，那也会是一个浩大的工程． 对于这类题，“以形助数”几乎是唯一的方法．
　　 已知函数f（x）=2－x－1，x≤0，f（x－1），x>0，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
　　
　　图4
　　 解析 作出函数y=f（x）和y=x+a的图象如图4所示，由图象可知a<1时，两图象有两个交点，此时方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，所以所求实数a的取值范围是（－∞，1）．
　　 点评 因为函数f（x）的解析式未知，所以从代数的角度思考显然行不通，如果从图形的角度理解，将代数问题（方程的根）转化为几何问题（两个函数图象的交点个数），那么问题便得以顺利解决．
　　
　　
　　 若关于x的不等式x2<2－x－a至少有一个负数解，则实数a的取值范围是________．
　　
　　图5
　　 解析 不等式x2<2－x－a至少有一个负数解，即x－a<2－x2有负数解，在同一坐标系中作出函数y=x－a和y=2－x2的图象，如图5所示． 当y=x－a与y=2－x2相切时，求得a=－，将y=x－a右移到图中位置时，不等式刚好无负数解，此时a=2，所以实数a的取值范围是－，2．
　　 点评 很多含有字母的不等式有解、恒成立等问题，从代数的角度求解，过程往往烦琐而复杂，这时若能够灵活应用数形结合思想，不仅使问题变得直观，而且过程更简便．
　　 若实数x，y满足不等式组x+3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m等于（ ）
　　 A． －2?摇?摇?摇?摇 B． －1?摇?摇?摇?摇C． 1?摇?摇?摇?摇?摇D． 2
　　 解析 这是个线性规划问题，常规的方法是通过画出约束条件所表示的几何图形来解决，但是约束条件x－my+1≥0中含有字母m，这就使得其图象不能准确地被画出，该怎么办呢？仔细观察后我们发现，直线x－my+1=0必过（－1，0），但是仍无法确定此直线的倾斜程度，因此确定直线的倾斜程度就成为此题的突破口． 不妨设z=x+y，则y=－x+z，结合图象知，当直线x－my+1=0绕着（－1，0）旋转的时候，只有斜率∈（0，2）时，才能让函数y=－x+z的截距能取到最大值，如图6所示． 我们发现当目标函数y=－x+z经过点A时，z取到最大值9． 联立直线y=－x+9，2x－y－3=0，解得A（4，5），代入x－my+1=0中，得m=1，选C．
　　
　　图6
　　 点评 线性规划是不等式的重要内容，也是以形助数在不等式应用中的重要体现．
　　 数形结合的思想方法应用相当广泛，涉及高中数学的各个部分，尤其是以形助数思想在集合、函数、方程和不等式问题中，以其直观、简便而成为使用频率最高的数学思想之一． 我们在解决数学问题时，要做到胸中有图，见数想图，以此开拓自己的思维视野．