长沙雅礼中学 湖南师大附中月考试卷调研

　　（说明：本套试卷满分150分，考试时间120分钟）
　　 试卷严格按照新课标的范围命题，注重数学的学科本质，坚持对基础知识、基本技能和基本方法的考查，兼顾了数学思想方法、思维、应用和潜能多方面的考查，还注意了文、理科的差异．主要体现以下特点：①坚持“重点内容重点考查，非重点内容渗入考查”的思路，突出考查了数学中支撑学科知识体系的主干内容，体现了重点知识在试卷中的突出位置，如函数在本试卷中占了显著的地位. ②注重知识的交叉、渗透和综合，注重检测大家是否具备了有序的网络化的知识体系. 试卷中知识交汇的试题比比皆是，如理科第8、13、22题，文科第7、14、20题等. ③关注数学知识的合理应用，比较重视对应用与创新能力的考查，在选择题中也有两道题涉及知识的创新与应用，如理科第7、20题，文科第7、18题. ④规避命题的“模式化”，如理科第6、8、10、17、19题，文科第11、12、14、20都有所创新. ⑤由一题把关变为多题把关，如理科第13、21、22题都有一问需大家具有较好的数学基础才可完成．
　　 难度系数：★★★★
　　 适用版本：课标版
　　
　　一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
　　1． （理）已知复数z=，则z•的值为（ ）
　　A． 0B． C． 2 D． －2
　　（文）复数z=（i为虚数单位）的实部和虚部相等，则实数b的值为（ ）
　　A． －1B． －2 C． －3 D． 1
　　2. （理）设P，Q是两个非空集合，定义P?鄢Q=｛（a，b）a∈P，b∈Q｝，若P=｛0，1｝，Q=｛1，2，3｝，则集合P?鄢Q的子集的个数是（ ）
　　A． 63个B． 32个 C． 64个 D． 16个
　　（文）“x－1<2”成立是“<0”成立的（ ）
　　A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
　　C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
　　3． 阅读如图1所示的程序框图，若输入m=8，n=6，则输出的a，i分别等于（ ）
　　A． 12，2B． 12，3
　　C． 24，2D． 24，3
　　4． 设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的区域为A，若在区域A中任意丢进一颗骰子，则该骰子落在直线y=x上方的概率为（ ）
　　A． B．
　　C． D．
　　5． （理）在边长为1的正六边形A1A2A3A4A5A6中，•的值为（ ）
　　A． －B． C． － D．
　　（文）若两个分类变量x和y的列联表为：
　　
　　参考公式：
　　独立性检测中，随机变量K2=
　　
　　则x与y之间有关系的可能性为（ ）
　　A． 0.1%B． 99.9% C． 97.5% D． 0.25%
　　6． （理）已知［x］表示不超过实数x的最大整数，g（x）=［x］为取整函数，x0是函数f（x）=lnx－的零点，则g（x0）等于（ ）
　　A． 1B． 2 C． 3 D． 4
　　（文）规定记号“?鄢”表示一种运算，则a?鄢b=+a+b，记f（x）=（sin2x）?鄢（cos2x），若函数f（x）在x=x0处取得最大值，则x0为（ ）
　　A． +2kπ（k∈Z） B． +2kπ（k∈Z）
　　C． +kπ（k∈Z） D． +kπ（k∈Z）
　　7． （理）将正三棱柱截去三个角（如图2所示，A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图3，则该几何体按图3所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）
　　
　　 A B C D
　　（文）已知圆C的方程x2+y2=4及下列四个函数：
　　①f（x）=x3；②f（x）=sinx；③f（x）=xsinx；④f（x）=，其中函数的图象能等分该圆面积的函数个数有（ ）
　　A． 1个B． 2个 C． 3个 D． 4个
　　8． （理）已知数列｛an｝满足a1=a且an+1=，an>1，2an，an≤1.若对任意的n∈N?鄢，总有an+3=an成立，则a在（0，1］内的可能值有（ ）
　　A． 1个B． 2个 C． 3个 D． 4个
　　（文）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值等于（ ）
　　A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
　　
　　二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．
　　（一）必做题（理：9～13；文9～14）
　　9． （理）已知角A是一个三角形的内角，且tanA=1，则角A的集合为_______．
　　（文）若sin（π+α）=，α∈－，0，则tanα=_______．
　　10． （理）直线y=x被圆x2+y2－4x=0截得的弦长为_______．
　　（文）抛物线x=2y2的焦点坐标是_______．
　　11． （理）已知x>0，y>0且+=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是_______．
　　（文）在等比数列｛an｝中，a5+a6=1，a15+a16=2，则a25+a26=_______．
　　12． （理）直线y=e2、y轴以及曲线y=ex围成的图形的面积为_______．
　　（文）已知某个几何体的三视图如图4，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是______．
　　
　　图4
　　13． （理）已知f（x）=－x，0≤x≤2x－1，　　（文）已知m>0，n>0，向量a=（m，1），b=（1－n，1），且a∥b，则+的最小值是_______．
　　14． （文）在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的；若=xe1+ye2，其中e1，e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为（x，y）．
　　（1）若点P的斜坐标为（2，-2），则点P到点O的距离=_______；
　　（2）以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程为_______．
　　
　　（二）选做题（理：14～16，考生只能选做两题，三题全答的，只计算14、15题的得分；文15～16，考生只能选做一题，两题全答的，只计算15题的得分）
　　14． （理）在图5的圆中，弦AB，CD相交于E且互相垂直，若线段AE，EB和ED的长分别为2、6和3，则圆的直径长为_______．
　　15． （理）对一切x∈R，不等式x+1+x－2≥a恒成立，则实数a的取值范围是_______．
　　（文）在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为3，，4，，则△AOB（其中O为极点）的面积为_______．
　　16． （理）圆ρ=4sinθ与圆ρ=4cosθ的圆心之间的距离为____．
　　（文）在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 kΩ，1.2 kΩ，1.8 kΩ，3 kΩ，3.5 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，则第2个试点值的电阻是_______kΩ．
　　
　　
　　三、解答题：本大题共6小题，共75分．
　　17． （12分）（理）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2sin2x.
　　（1）求函数f（x）的最小正周期；
　　（2）当x为锐角时，求f（x）的值域．
　　（文）已知：△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=（1，1），n=sinBsinC－，cosBcosC，且m∥n．
　　（1）求A的大小；
　　（2）若a=1，b=c，求S△ABC.
　　18． （12分）（理）第26届世界大学生运动会于2011年8月12日到23日在中国举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者． 将这30名志愿者的身高编成如图6所示的茎叶图（单位：cm）． 若身高在175 cm以上（包括175 cm）定义为“高个子”，身高在175 cm以下（不包括175 cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
　　（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”“非高个子”中一共提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
　　（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
　　（文）（1）在一个红绿灯路口，红灯、黄灯和绿灯的时间分别为30秒、5秒和40秒，当你到达路口时，求不是红灯的概率；
　　（2）已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2－4bx+1，设集合P=｛1，2，3｝和Q=｛－1，1，2，3，4｝，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间［1，+∞）上是增函数的概率．
　　19． （12分）（理）在如图7所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
　　（1）证明：DF⊥平面ABE；
　　（2）求二面角A－BD－E大小的余弦值．
　　（文）如图8所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2.
　　（1）求证：BD⊥平面PAD；
　　（2）求三棱锥A-PCD的体积．
　　20． （13分）（理）某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为5001+万元（n为正整数）．
　　（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An，Bn的表达式；
　　（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
　　（文）已知等差数列｛an｝的公差为－1，且a2+a7+a12=－6．
　　（1）求数列｛an｝的通项公式an与前n项和Sn；
　　（2）将数列｛an｝的前4项抽去其中一项后，剩下的三项按原来的顺序恰为等比数列｛bn｝的前3项，记｛bn｝的前n项和为Tn，若存在m∈N?鄢，使对任意n∈N?鄢总有Sn　　21． （13分）（理）椭圆E的中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点C（－1，0）的直线l交椭圆于A，B两个不重合的点，且满足：=λ．
　　（1）当λ=1时，若△ABO的面积为1，求E的方程；
　　（2）对于给定的常数λ（λ≠1），当椭圆变化时，求△ABO面积的最大值及对应的E的方程．
　　（文）已知函数f（x）=x3+ax2+x+2．
　　（1）若a=－1，令函数g（x）=2x－f（x），求函数g（x）在（－1，2）上的极大值、极小值；
　　（2）若函数f（x）在－，+∞上恒为单调递增函数，求实数a的取值范围．
　　22． （13分）（理）设函数f（x）=1+++…+，n∈N?鄢．
　　（1）证明：e-xf（x）≤1；
　　（2）证明：当n为偶数时，函数y=f（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
　　（文）同理科第21题