空间距离

　　空间距离作为立体几何中的重要内容，是高考的重点考查内容之一．题目为中等难度，以解答题为主，求解方法灵活，解题时要注意计算与证明相结合．
　　
　　
　　 １． 空间距离的重点
　　 ①理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面等距离的概念．
　　 ②会用求距离的常用方法，即直接法、转化法、向量法．掌握两异面直线间的距离和点到平面间的距离的求法．
　　 ③培养动手能力、计算表达能力、空间想象能力．
　　 ２． 空间距离的难点
　　 ①直接法求解中的“作”的过程．
　　 ②空间向量的投影的理解、基底的选取、法向量的求解，以及数形结合思想的灵活运用．
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　　 １. 点到平面的距离的求法
　　 ①定义法，即过点直接作平面的垂线，已知点与垂足之间的距离．
　　 ②向量法，即为平面的斜线的方向向量在平面法向量上的射影长．
　　 ③等积法，即当点到平面的距离不易求，可先构建一个合适的三棱锥，通过等体积变换，把点到平面间的距离问题转化为求棱锥的高的问题．
　　 ２. 异面直线之间的距离求法
　　 ①定义法，即求公垂线段的长．
　　 ②向量法，即分别在两异面直线上各取一点A和B，连结AB，则向量在公共法向量n上的射影长．
　　 ３． 其他距离的求法
　　 转化法． 距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离以及其他可以转化成以上几类距离的问题，如线面、面面的距离可以转化为两异面直线间的距离或点到平面间的距离．
　　
　　
　　 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C间的距离．
　　
　　 图1 图2
　　 思索 异面直线距离问题为空间距离的典型问题，通常考虑两类策略：①定义法，即作出公垂线段，求其长度；②向量法，建立空间直角坐标系，求两异面直线的公垂线段的一个方向向量．
　　 破解 法1：连结AC交于BD的中点O，取CC1的中点M，连结BM交B1C于E，连结AC1，则OM∥AC1，过E作EF∥OM，交OB于F，则EF∥AC1． 又斜线AC1的射影为AC，BD⊥AC，则BD⊥AC1，EF⊥BD，同理AC1⊥B1C，EF⊥B1C，所以EF为BD与B1C的公垂线段． 因△MEC∽△BEB1，则==，BM=，BE=MB=．又EF∥OM，==，则BF=OB=，故EF==．
　　 法2：以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系D－xyz，则=（1，1，0），=（－1，0，－1）． 设BD与B1C的公垂向量n=（x，y，z），则n•=0，n•=0，x+y=0，－x－z=0，取x=1，则n=（1，－1，－1），又=（1，0，0），故d===．
　　 点评 异面直线距离问题，一方面采用几何策略，通过“一作、二证、三计算”解决；另一方面采用向量策略把几何推理过程转化为代数计算． 其中应注意向量在解决距离问题中的特殊功效，本题中向量法显得简单快捷．
　　 如图3，在四棱锥S－ABCD中，其中SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，SA=AB=BC=1，AD=2，求点A到平面SCD的距离．
　　 思索 求点到面的距离，直接法是过已知点作平面的垂线段，也可采用间接法，即利用等积法，还可根据条件特征建立空间直角坐标系，运用空间向量求解．
　　 破解 法1：点A到平面SCD的距离为d，因VS－ACD=VA－SCD，即S△ACD•SA=S△SCD•d，则d=． 在△ACD中，由题意得AC=，AD=2，CD=，则AD2=AC2+CD2，则S△ACD=AC•CD=1． 在△SCD中，由题意得SD=，SC=，CD=，则SD2=SC2+CD2，则S△SCD=SC•CD=． 故d==．
　　 法2：以，，为正交基底，建立空间直角坐标系A－xyz，则得A（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），可得=（1，1，－1），=（2，0，－1）． 设n=（x，y，z）是平面SCD的一个法向量，则n•=0，n•=0，取x=1，得n=（1，1，2），则点A到平面SCD的距离d为在向量n上的投影的绝对值，即d==．
　　 点评 向量法求点到平面的距离，不必作垂线段，只需求出平面的法向量． 等积法也具有避免复杂作图的优势，但需建立在底面三角形的面积及棱锥体积易求的前提下．
　　 在棱长为2的正方体AC1中，E是AA1的中点，求BD到平面EB1D1的距离．
　　 思索 求直线到平面的距离时，一般要在直线上找一个特殊点，转化为求这个特殊点到平面的距离． 当然，也可转化为异面直线之间的距离．
　　 破解 法1：因BD∥平面EB1D1，所以BD上任意一点到平面EB1D1的距离都为所求，不妨取BD中点O到平面EB1D1的距离． 因B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，所以B1D1⊥平面A1ACC1，又B1D1?奂平面EB1D1，所以平面A1ACC1⊥平面EB1D1，两个平面的交线为O1E．作OF⊥O1E，则OF⊥平面EB1D1，即OF就是点O到平面EB1D1的距离． 因S=O1O•AO=OF•O1E，又O1O=2，AO=，O1E=，故OF=，即BD到平面EB1D1的距离为．
　　 法2：因BD∥平面EB1D1，所以BD上任意一点到平面EB1D1的距离都为所求，不妨取B点到平面EB1D1的距离，设点B到平面EB1D1的距离为h，又V=V，由于S=×2×=，S=×2×2=2，故h==．
　　 法3：因BD∥平面EB1D1，所以BD上任意一点到平面EB1D1的距离都为所求，即也为D点到平面EB1D1的距离，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标，则=（2，0，－1），=（2，2，0）． 设n=（x，y，z）是平面EB1D1的一个法向量，则n•=0，n•=0，取x=1，则y=－1，z=2，即n=（1，－1，2），则点D到平面EB1D1的距离为=（2，0，1）在向量n上的投影的绝对值，即d==．
　　 点评 如果我们会求点到平面与异面直线间的距离，那么直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为这两类基本问题来求解．
　　
　　
　　 1． 首先要理解点到平面的距离、异面直线的距离以及线面距离及面面距离的概念，而后结合题目总结求空间距离的常用方法．
　　 2． 求空间距离的方法可分为直接法、等积法、转化法、向量法． 直接法是根据有关距离的定义，具体步骤简记为“一作、二证、三计算”． 这里不能忽视第二步的证明． 等积法通过对三棱锥从不同角度去思考，选择不同的顶点和底面其体积是相等的，从而将求点到平面的距离问题转化为求共棱锥的高的问题．转化法即各种距离之间可以相互转化，探求某种距离遇到困惑时，可以不断地进行点面、线面、面面距离之间的转化，直到求出为止． 向量法是把距离求解转化为向量运算，关键是基底的选择与法向量的求解．
　　 3． 对异面直线的距离只要求掌握作出公垂线段或用向量表示的情况，点面距离仍作为空间距离的重点题型． 学立体几何应当会“两条腿走路”：既能用传统法求解，也能用新增的向量法求解． 其中，等积法与向量法可避免复杂的几何作图，求解时可优先考虑．