探究新课程背景下学生函数解题思维发展的历程

　　摘 要： 探究新课程背景下学生函数解题思维发展的历程，实验从课堂互动模式和练习实践模式两方面展开，通过实证性的研究指导教师对教学方法作出科学选择，希望给一线数学教师提供一些根据学生思维发展的不同水平选择合适的课堂互动模式，以及练习和实践方法的策略。
　　关键词： 新课程 函数解题思维 教学选择
　　
　　一、引言
　　课堂是灵动的，教师是能动的，每一个课堂都与众不同——教师和学生有着不同的心理状态，不同知识积累状态，甚至是不同的物理环境。因此，教师必须充分发挥自己的创造能力，要应情境而变，应学生而变，应自身而变，实现教学的选择性。
　　我于2011年承担了上海市黄浦区区级课题《完中高三学生函数解题思维发展历程研究》的工作。函数是中学数学的必修内容，是构建整个中学数学的主旋律。函数的观点和思想方法贯穿整个高中代数的全过程，应用于几何问题的解决，且以其高度的抽象性和数学思想应用的广泛性成为历届高考考查的重点。我从一个高中教师的角度出发，探究新课程背景下学生函数解题思维发展的历程，希望通过实证性地研究基于某个特殊知识模块下的学生解题思维发展与教学方式的关系，提供一些参考性意见来影响教师教学行为的选择。
　　二、试验研究
　　我将自己任教的上海黄浦区储能中学的高三年级理科（2）、（3）班作为试验班开展了相关研究，将理科（1）班和文科（1）班作为试验参考班进行数据对比。我是在学校高三年级分层编班的基础上开展这项研究的。理（2）班综合能力较理（3）班强，但两班的数学水平相差不多，数学思维相对处于中等偏弱的水平，便于开展解题思维发展的试验研究。理（1）是尖子班，可作为试验参考；文（1）的水平较理（2）稍强，也可作为试验对比。
　　（一）不同课堂互动模式下学生函数解题思维发展的历程探究
　　师生互动，是素质教育和新课程改革的重点内容，是课堂教学的重要方法之一。2011年3月25日我在储能中学高三的理（1）、（2）、（3）及文（1）班开展了一项调查研究问卷。
　　其中第一问为：
　　你能接受的函数复习课的讲授方式？（）
　　A.老师把所有的步骤、思路都讲出来（）
　　B.老师提示，学生上黑板做并在笔记本上做（）
　　C.让学生课堂上探究一题多解（）
　　D.讲授过程中能穿插相关幽默话题（）
　　数据整理：
　　通过调查数据分析：
　　思维水平越低的学生越希望课堂是以教师讲解为导向的，通常这样的课堂常常被描述为机械学习或被动学习，但事实上是不同的。这部分学生所希望的课堂是需要互动的，他们需要教师用幽默话题激发他们的兴趣，使他们在大笑之余，牢牢地记住知识并产生进行练习的主观愿望。前苏联著名教育家苏霍姆林斯基曾说：“教师的语言修养在很大程度上决定着学生在课堂上的脑力劳动的效率。”
　　对数学比较感兴趣的理科学生更愿意在协商与合作的互动平台，形成一个探究共同体，围绕共同的探究目标质疑、交流，而这几乎不涉及思维程度的高低差异，他们都对在课堂上探究一题多解乐此不疲。文科生这方面意愿则明显较弱。这项调查表明对数学学习有强烈兴趣的学生无论其基础如何，都是比较能够接受小组合作，共同深入探究某一问题这类课堂互动模式的。当同学们交流了他们的发现和解释，并倾听到其他人对这些信息的解释或推论时，他们将会被刺激、被引导着去反思自我，接受其他人的建设性批评，或对这些批评做出反应。
　　调查研究问卷的第七问为：
　　你觉得以下教学方法能提高你的函数解题思维能力吗？（）
　　A.鼓励学生积极提出问题、回答问题，充分阐明自己的观点，暴露其思维过程，如果思路正确，则给予肯定与表扬；如果思维有误，则抓住症结，激励其他学生共同诊断，把题目讲清、讲透（ ）
　　B.课堂上教师指定某一学生一问一答，一说一写（ ）
　　C.一点一滴地“启发”学生：看到这个条件，能想到什么结论；要证明这个结论，需要什么条件，等等（ ）
　　D.把问题归结为一种一种的类型，然后非常详尽地把每一种类型题目所对应的解题方法传授给学生，让学生记住这些解题方法并“对号入座”地解题，然后进行反复操练（ ）
　　数据整理：
　　通过调查数据分析：（这项数据可以说是对上一组数据分析结果的进一步论证）
　　思维层次较高的学生和那些虽然思维层次不高甚至较弱的学生但对数学问题很感兴趣（愿意选择C）的学生还是比较愿意接受目前上海比较流行的聚焦型特点的互动模式的——即课堂上教师通过一系列开放性的诱导提问，鼓励学生关注学习对象的关键方面，表达他们自己的解释。当学生遇到困难时，教师转问其他同学，直到得到理想的答案。
　　文（1）班的数据说明了对于思维层次不是很高且对数学问题并不是那么感兴趣的学生（选C的意愿不强烈）用这种聚焦型的互动模式就未必有效了。面对这样的学生首先要解决的还是兴趣问题，前面提到的幽默互动应摆在第一位，激发了学生兴趣以后，再简单互动一下即可，即教师通过一系列简单的导向性提问，把学生引向教师期望的答案。这样给学生的任务简单，学生也比较容易产生成功感，对数学学习热情也会慢慢高涨，教师等到学生的思维水平提高了，学习兴趣增强了以后，聚焦式互动就可以用上了。
　　（二）不同练习和实践模式下学生的函数解题思维发展的历程探究
　　习是学的一个必要部分。学生掌握知识有一个逐步深化的过程，懂了不一定会做，会做了还不一定有创造性。所以教师要提供素材、情境、条件和提出要求，让他们独立探索，克服困难完成练习，以发展思维。2010年12月10日我做了函数解题思维发展研究调查测试，以下以试验班理（2）、理（3）班中的好中差三个学生测试情况为例进行说明：
　　函数解题思维发展研究调查测试（试题见附录）
　　分析测试数据，从测试五及补充题的解答可以发现，优等生解答综合题无需拆分（从补充题中得到提示）就能一步到位成功解答；中等生在分解小题（补充题）中会错的项目在综合题解答时相关的那一小问也会出现问题，但分解小题中不错的项目在综合题解答相关问题时也不会错；思维水平较差的学生即使分解小题中正确的项目，在遇到综合题相关的小问时，因缺乏信心，以及对自己的不正确认识，还是容易再犯错。陈佳同学在测试五及补充题中体现出的不能正确认识自己的思维方式在前面的测试中一样能找到答案：比如她在问题1中选了基本可以做到，但立即在测试1的反馈中却是不能做到。在问题2中陈佳同学错误回答了测试2，却仅仅填写了需要再努力加强逆向思维，而优等生正确回答了测试2，都认为自己很有必要加强逆向思维。不仅后进生容易不正确认识自己的学习水平，中等生也容易犯这个错误，比如测试3′中，中等生认为自己会的东西在测试时却犯了错，再次验证了前面提到的即使懂了也未必会做这个道理。
　　随后我将两个班的学生的测试成绩按照好、中、差进行了分类访谈，希望能找到合理的练习方法，为发展学生的思维提供一些策略。
　　师问：你认为以下关于函数解题的训练方法对你有效吗？哪些是适合你函数解题发展的？
　　（1）教师将做过的函数题重新排列组合给学生小反馈练习（）
　　（2）不定期默写三角恒等公式（）
　　（3）让学生整理函数解题错题集（）
　　（4）布置大量的函数解题回家作业（）
　　（5）到老师办公室重做讲过的练习（）
　　（6）结合学生的差异，可以不同学生布置难度有区分度的作业（）
　　（7）让学生自己选择一到两本参考练习（）
　　
　　（8）问题情境式作业（）
　　（9）整张试卷订正（）
　　数据分析：
　　大部分学生都不太愿意进行简单重复性的训练，他们更倾向于带点变化的重新排列组合的小反馈练习。因此，教师在选择练习题的时候要多动脑筋，尽量避免让学生进行大量简单重复性操练。在编排训练题时要抓住重点，有选择，有变化，让学生有种似曾相识，但又不太一样的感觉。
　　在整理错题集，以及对课外参考练习的选择上，不同程度的学生都有需求，思维层次高一点的学生这方面需求更迫切一些。所以教师在练习和实践中应多考虑让学生整理错题集，并为他们介绍一到两本好的参考练习，让学生自己选择，减少每天的作业布置量。从试验数据（4）问的回答可以看到大部分学生反感每天大量的规定的回家作业，宁可自己选择适合的参考练习进行训练。所以教师只要不定期地坚持检查他们参考练习的完成情况即可。
　　问题情境式作业很受思维层次较高，以及较低的同学欢迎，中等生对此反应平平。经过访谈发现思维层次较高的同学希望的情境是比较复杂且具有一定挑战性的问题，而思维层次较低的学生希望的情境是能与他们生活相关，激发学习兴趣的简单问题。因此，教师在布置分层作业时应对这方面情况予以考虑。从研究数据可以发现有区分度的作业布置在同学当中还是比较受欢迎的。
　　三、教师教学行为选择与学生思维习惯的养成
　　从试验出发，我对自己的课堂教学与练习设计方案不断修正，在理（2）班以中等偏优的学生为主设计教学方案，理（3）班以中等偏差的学生为主设计教学方案。现在延用前面提及的试验案例进行说明：徐武彬为(3)班的中等生，周敏捷与陈佳分别为（2）班的中上生和后进生。由于后两位同学均在（2）班上课，陈佳同学对于适应（2）班的教学还是有一定困难，我只能从练习与实践方面对症下药，给予她适当的训练。从以下的成绩跟踪图可以发现陈佳同学有效果，但还不稳定，其他两位同学的学习效果不错。
　　我们可以看到在新课程背景下教师的教学方式的选择与学生思维习惯的养成具有很大的关联。现在我们还是会看到很多一线教师尤其是毕业班教师大量机械地训练学生，虽然短时间内是能看到不少成绩，但学生的思维并没有得到真正意义上的发展，从前面的数据中我们可以看到往往中等偏下的一部分学生还是很热衷于重做的，这可能是长久以来形成的一种错误的学习习惯，而优等生却无人选择这一项。所以要养成学生好的思维习惯，需要教师对教学方法作出科学选择，即根据学生思维发展的不同水平选择合适的课堂互动模式，以及练习和实践方法。本研究提供的几种参考性策略大致可总结如下。
　　（一）课堂模式的选择性使用
　　1.以教师讲解为主但必须掺杂幽默互动元素以激发学生的学习热情的导向性课堂。是比较适用于数学思维水平较低，以及对数学学习热情不高的学生。幽默不是油腔滑调，也不是嘲笑或讽刺。教师想让课堂气氛活跃并吸引思维水平偏差或积极性较低的学生的注意力，幽默互动必不可少。
　　2.对数学学习有热情，无论其思维水平高低都可适用于聚焦型的课堂互动模式。该模式让全班同学集中一下，给小组和个人一些机会，以自己想到的各种各样的方式，来展示他们的探究工作。当某个小组或某个发言人解释、阐明、澄清或为自己的发现进行辩护时，就会促使学生们建构起更深层次的理解。
　　（二）练习与实践模式的选择性使用
　　1.带有变化的重新排列组合的小反馈练习对学生学习的巩固与提高有一定帮助。无论思维水平高低基本都能接受。切忌盲目大量地机械性训练。
　　2.让学生整理错题集比题海战术有效。
　　3.给思维层次高、中档的学生提供一到两本课外参考书，让学生自主选择去做，这一点比较受学生欢迎。
　　4.布置作业应有一定的区分度，对思维层次高与低的两类学生提供不同的情境式作业，以帮助他们各自的思维在最近发展区得到最大限度的发展。
　　可以这样说，新课程改革中没有最好的教学方法，只有最合适的教学方法。
　　
　　参考文献：
　　［1］范良火，黄毅英，蔡金法，李士奇等.华人如何学习数学［M］.江苏教育出版社，2005.1.
　　注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”