导数考查的几种方式

　　摘 要： 导数的应用成为新课程的热点，因此复习中要足够重视，本文探讨有关导数的考查方法，以增强复习的针对性。
　　关键词： 导数概念 函数单调性 不等式 导数几何意义
　　
　　一、识别函数图像，考查导数概念及思想内涵
　　函数图像能直观反映两个变量之间变化关系，但其变化率的定量分析还依赖于导数计算，导数概念的建立使对平均变化率的粗略的认识提高到对瞬时变化率的精确认识.
　　例1：如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S（t）（S（0）=0），则导函数y=S′（t）的图像大致为（?摇?摇?摇?摇）
　　二、考查导数与函数单调性的关系
　　导数为对函数单调性的研究提供了简单，快捷，程序化的方法.
　　例2：设函数f（x）=x+bln（x+1），其中b≠0，当b＞时，判断函数f（x）在定义域上的单调性.
　　解：由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=2x+=.
　　设g（x）=2x-2x+b，其图像的对称轴为x=-∈（-1，+∞），
　　∴g（x）=g（-）=-+b，当b＞时，g（x）=-+b＞0，
　　即g（x）=2x+3x-b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
　　∴当x∈（-1，+∞）时，f′（x）＞0，
　　∴当b＞时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增.
　　三、证明不等式，考查导数方法的灵活运用
　　把要证明的一元不等式通过构造成函数，转化为求函数的最值，实现对不等式的证明.
　　例3：已知函数f（x）=ln（x+1）-x，求证：当x＞-1时，恒有1-≤ln（x+1）≤x.
　　分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数：
　　g（x）=ln（x+1）+-1，从其导数入手即可证明.
　　f′（x）=-1=-
　　∴当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（-1，0）上为增函数；当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，+∞）上为减函数.
　　故函数f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间（0，+∞）.
　　于是函数f（x）在（-1，+∞）上的最大值为f（x）=f（0）=0.因此，当x＞-1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）-x≤0∴ln（x+1）≤x（右边得证）.现证左边，令g（x）=ln（x+1）+-1，则g′（x）=-=.
　　当x∈（-1，0）时，g′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，即g（x）在x∈（-1，0）上为减函数，在x∈（0，+∞）上为增函数，
　　故函数g（x）在（-1，+∞）上的最小值为g（x）=g（0）=0，
　　∴当x＞-1时，g（x）≥g（0）=0，即ln（x+1）+-1≥0.
　　∴ln（x+1）≥1-.综上可得，当x＞-1时，有-1≤ln（x+1）≤x.
　　四、解曲线切线的相关问题，考查导数的几何意义
　　函数的某点的导数，其几何意义是曲线在该点处切线的斜率.
　　例4：若曲线y=x在点（a，a）处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a=（?摇?摇?摇?摇）
　　A.64 B.32 C.16 D.8
　　［解析］y′=-x，∴k=-a，切线方程是y-a=-a（x-a），令x=0，y=a，令y=0，x=3a，∴三角形的面积是s=•3a•a=18，解得a=64.故选A.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文